Nesse texto você vai aprender  as formas, fórmulas e equações de geometria analítica!

Você sabe o que acontece quando a álgebra e a geometria se encontram? A resposta é: geometria analítica! Um assunto importantíssimo entre os conteúdos da disciplina de Matemática e que, com certeza, também vai estar presente em uma ou mais questões do Enem e outros vestibulares.

E para que você possa se aprofundar nessa matéria, preparamos este incrível post que vai explicar o que é a geometria analítica e seus objetos de estudo (ponto, reta, vetores, parábolas, elipses e circunferências), além de trazer as principais fórmulas que todo vestibulando precisa saber.

Então, respire fundo e prepare-se para entrar de cabeça com a gente em mais uma sessão de estudos. Boa leitura!

O que é geometria analítica

Por ter sido criada pelo matemático e filósofo francês René Descartes, a geometria analítica também é conhecida como “cartesiana” e tem como objetivo relacionar os conceitos da geometria plana e da espacial com os princípios da álgebra.

E para que você compreenda melhor os elementos que fazem parte do estudo da geometria analítica, nos tópicos a seguir, vamos descrever com mais detalhes cada um deles. Continue a leitura e confira!

Ponto

Vamos começar falando sobre a partícula primordial do estudo da geometria, que dá origem à formação dos demais elementos: o ponto.

Sem dimensão nem formato definido, essa figura geométrica é utilizada para estabelecer uma localização específica no espaço, de forma extremamente precisa, e é representada algebricamente por um número real.

Se ampliarmos esse conceito e colocarmos outros pontos na equação, podemos chegar a outros importantes tópicos:

  • distância entre dois pontos: que mede o intervalo entre um ponto e outro, dentro de um mesmo plano;
  • ponto médio: que corresponde justamente ao marco central de um segmento de reta.

Retas

A partir da junção de infinitos pontos, é possível construir uma linha de comprimento ilimitado e sem largura, conhecida conceitualmente como “reta”.

Sem curvas e com diferentes direções — horizontal, vertical ou diagonal — essa figura geométrica pode, ainda, ser classificada como paralela, sem pontos em comum com outras retas, ou concorrente, quando se cruza com outra reta por meio de um ponto em comum.

Mas como definir algebricamente essas características? Por meio do estudo analítico da reta, como você poderá descobrir logo a seguir.

Estudo da reta

O estudo de uma reta tem como principal objetivo chegar a uma equação que permita identificar um determinado tipo de reta sem a necessidade de representá-la graficamente, além de definir a sua inclinação e a localização do ponto em comum, no caso de retas concorrentes.

No entanto, quando queremos estudar a direção de um segmento de reta, ou seja, uma reta que parte de um ponto determinado no espaço e segue de forma infinita, precisamos recorrer a outro conceito da geometria analítica: vetores.

Vetores

Por terem uma origem representada por um ponto específico, uma direção e um sentido determinado, podemos dizer que os vetores são segmentos de reta orientados, sendo, por isso, retratados graficamente por meio de setas.

Além de sua importância no estudo de planos cartesianos, os vetores estão muito presentes na disciplina de Física, representando movimentos ou incidência de forças.

Cônicas

Diferentemente das retas e vetores, as cônicas são superfícies formadas a partir de um movimento de retas que, como o próprio nome indica, dá origem aos cones. O conjunto de pontos desses elementos, quando relacionados aos planos, forma as cônicas, grupo das parábolas e das elipses, como você poderá ver nos tópicos a seguir.

Parábolas

As parábolas descrevem curvas e podem ser definidas como um conjunto de pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo específico no plano.

Graficamente utilizada para representar o conceito algébrico das funções de segundo grau, essa forma geométrica é formada pelos seguintes elementos:

  • foco: indicado pela letra F, é o ponto fixo do plano cartesiano a partir do qual será definida a parábola;
  • diretriz: representa a reta fixa do plano que, juntamente ao foco, definirá a parábola;
  • parâmetro: distância entre o foco e a diretriz;
  • vértice: o ponto mais próximo à diretriz;
  • eixo de simetria: reta que divide a parábola em duas partes simétricas, sendo perpendicular à diretriz e passa pelo vértice.

Elipses

Diferentemente das parábolas, as elipses têm 2 focos, além de um eixo maior e um eixo menor. Se estabelecermos uma relação entre um dos focos, o centro dessa figura e o ponto médio do eixo maior, formaremos um triângulo-retângulo, possibilitando um cálculo de área a partir do uso do teorema de Pitágoras.

Circunferências

Por último, mas não menos importante, temos ainda as circunferências como parte do campo de estudo da geometria analítica. Formadas por um conjunto de infinitos pontos de um mesmo plano, que são equidistantes de um outro ponto fixo em seu interior, essas figuras geométricas são compostas pelos seguintes elementos:

  • centro, que é, como o nome indica, o ponto central da circunferência, identificado pela letra “o”;
  • arco, formado por um segmento curvilíneo com suas extremidades em pontos distintos da circunferência;
  • corda, que, assim como o arco, tem suas extremidades em pontos distintos da circunferência, porém, é composta por um segmento de reta;
  • diâmetro, também um segmento de reta, mas que atravessa a circunferência, passando pelo seu centro;
  • raio, que é a distância entre a extremidade e o centro da circunferência.

Fórmulas da geometria analítica

Geometria analítica

Agora que você já conhece as principais formas estudadas pela geometria analítica, chegou o momento de transformar os conceitos em números e apresentar aquelas fórmulas que você certamente vai encontrar nas questões matemáticas dos processos seletivos. Vamos lá?

Distância entre pontos

Dada a localização do ponto A e do ponto B em um mesmo eixo — que vamos chamar de X — basta subtraí-los seguindo o seguinte raciocínio: DAB = |XA| – |XB|.

Ponto médio

A partir do conhecimento das coordenadas dos pontos A e B de um segmento no plano cartesiano, é possível calcular a sua média aritmética para chegar ao ponto médio, o que nos leva à seguinte fórmula: Xm = XA + XB/2.

Retas

Todo tipo de reta (horizontal, vertical ou oblíqua) tem a seguinte equação geral: ax + by + c = 0, em que x e y são variáveis e as demais letras são números reais, considerando que a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Parábolas

No caso da parábola, podemos destacar 4 tipos diferentes de equação:

  • y2 = 2px, quando o eixo de simetria é horizontal, mas a concavidade está voltada para a direita;
  • y2 = -2px, quando o eixo de simetria é horizontal, mas a concavidade está voltada para a esquerda;
  • x2 = 2py, quando o eixo de simetria é vertical, mas a concavidade está voltada para cima;
  • x2 = -2py, quando o eixo de simetria é vertical, mas a concavidade está voltada para baixo.

Elipses

Para chegarmos à equação da elipse, devemos considerar a posição do seu eixo maior, da seguinte forma:

  • se for horizontal: x2/a2 + y2/b2 = 1;
  • se for vertical: y2/a2 + x2/b2 = 1.

Circunferências

Por fim, para os cálculos relativos à circunferência, como a posição relativa entre retas e pontos, é importante que você tenha em mente a constante π e conheça as seguintes equações:

  • comprimento da circunferência: C = 2πR;
  • comprimento do arco: C = πRα/180o, em que o alfa corresponde ao ângulo do arco;
  • área da circunferência: A = πR2.

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Raquel Brito

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