Geometria espacial: estudo do espaço e das formas
Entenda o que o Geometria Espacial com o Stoodi!
Você sabia que os dados que são usados em jogos de tabuleiro são exemplos da geometria espacial? Várias formas geométricas que utilizamos também se unem aos dados e são estudadas pela geometria.
Essas mesmas formas comumente costumam aparecer nas provas do Enem e dos vestibulares. Sendo assim, seu estudo se faz necessário. Confira no post de hoje, o que é geometria espacial, quais as formas geométricas que ela estuda e quais as fórmulas mais utilizadas.
Acompanhe!
O que é geometria espacial?
A geometria é a área da matemática que estuda formas e espaço. Ela pode ser dividida em três: plana, espacial e analítica. Porém, vamos nos ater apenas à geometria espacial. Para entender exatamente o que ela analisa, vamos ver o que são dimensões.
Dimensão
Dimensão é cada uma das medidas que utilizamos para medir algo, como altura, comprimento e largura. Há objetos que só têm duas dimensões, como é o caso de uma folha de papel, que tem largura e comprimento. Esses objetos recebem o nome de bidimensionais.
Porém, há outros que têm três dimensões, como é o caso de um cubo mágico, que tem altura, largura e comprimento. A esses objetos damos o nome de tridimensionais. A geometria espacial estuda os objetos tridimensionais. Percebe-se que eles são os únicos que podem ter volume.
Introdução à geometria espacial
A geometria é uma palavra formada por “geo” (terra) + “metria” (medida) e literalmente ela significa medir a Terra. Isso se dá por conta de ser uma área da matemática muito antiga.
Os antigos filósofos, como Platão (427 a.C. a 327 a.C.) e Pitágoras (570 a.C. a 495 a.C.) já estudavam a geometria espacial, mas foi só com Euclides (300 a.C.), em sua obra “Elementos”, que os conceitos dessa área foram reunidos e organizados.
Após Euclides, os estudos dessa área só retornaram na Idade Média, com Leonardo Fibonacci (1170 d.C. a 1240 d.C.). Mas foi apenas com Johannes Kepler (1571 d.C. a 1630 d.C.) que o estudo do volume das figuras tridimensionais foi desenvolvido.
Um exemplo de que a geometria espacial já era estudada e utilizada há muitos anos são as pirâmides do Egito. Seu formato é perfeito e cada bloco que foi colocado para erguer a estrutura parece ter sido milimetricamente pensado.
Os gregos aprenderam a geometria espacial com os egípcios. Porém, ao invés de seguir o viés prático que esses povos tinham, os gregos focaram mais no lado dedutivo e lógico. Sendo assim, vamos ver agora quais são as formas geométricas espaciais e as fórmulas que cada uma utiliza para medir a área e volume total.
Formas geométricas espaciais
Cubo
Essa é, provavelmente, a figura geométrica mais conhecida — um exemplo do cotidiano é o cubo mágico. O cubo ou o hexaedro é um poliedro composto por seis faces quadrangulares de mesmo tamanho, 8 vértices e 12 arestas.
Tetraedro
O tetraedro, também conhecido como pirâmide triangular, é um poliedro com 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
Dodecaedro
O dodecaedro é um poliedro composto por 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas. Normalmente é utilizado em jogos RPG que precisam de dados.
Cilindro
O cilindro é uma figura alongada, em que sua base é circular. Ele tem o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
Esfera
A esfera é simetricamente proporcional, sendo formada por uma superfície curva contínua. Um exemplo do dia a dia é a bola de futebol.
Octaedro
O octaedro também é um poliedro, só que é composto por 8 faces triangulares de lados iguais (triângulos equiláteros), 6 vértices e 12 arestas. É uma figura que também pode ser vista nos dados de jogos de tabuleiro.
Prisma
O prisma é uma figura com algumas particularidades a mais — por exemplo, ele pode ter a base de diferentes formatos:
- triangular;
- retangular;
- pentagonal;
- hexagonal;
- heptagonal;
- octagonal.
Além disso, ele pode ser inclinado (prisma oblíquo), fazendo com que em sua lateral se forme um paralelogramo, ou reto (prisma reto), fazendo com que sua lateral seja formada por retângulos.
De um modo geral, o prisma é um poliedro com as características citadas acima.
Icosaedro
O icosaedro é um poliedro convexo, composto por 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas. Essa também é uma figura espacial que pode ser utilizada como dado em jogos de tabuleiro.
Pirâmide
A pirâmide é uma figura que também tem particularidades, como o prisma. Ela é um poliedro composto por uma base — que pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular ou paralelogramo — e um vértice que une todas as laterais triangulares.
A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e a base. Além disso, ela é classificada em oblíqua, quando é inclinada, ou reta, quando o ângulo é de 90º.
As pirâmides do Egito, por exemplo, têm base quadrada e são retas.
Geometria espacial: fórmulas
Agora vamos ver as fórmulas que podem ser utilizadas para calcular a área ou volume de cada uma das figuras geométricas espaciais citadas acima.
Cubo
- Área lateral: A = 4 . a²
- Área total: At = 6 . a²
- Volume: V = a³
Em que: a é o comprimento de uma aresta.
Tetraedro
- Área total: At = 4 . a² √3/4
- Volume: V = ⅓ . Ab . h
Em que:
- a é o comprimento de uma aresta;
- Ab é a área da base;
- h é a altura.
Dodecaedro
- Área total: A = 3 . a² √(25 + 10√5)
- Volume: V = ¼ . a³ (15 + 7√5)
Cilindro
- Área lateral: Al = 2 . π . r . h
- Área da base: Ab = π . r²
- Área total: At = Al + 2 . Ab ou At = 2 . π . r (h + r)
- Volume: V = Ab . h
Em que:
- r é o raio da base;
- h é a altura do cilindro;
- π (pi) é uma constante.
Esfera
- Área: A = 4 . π . r²
- Volume: V = (4 . π . r³)/3
Octaedro
- Área: A = 2 . a³√3
- Volume: V = ⅓ . a³ √2
Prisma
- Área da face: Af = a . h
- Área lateral: Al = 6 . a . h
- Área da base: Ab = 3 . a²√3/2
- Volume: V = Ab . h
Icosaedro
- Área total: At = 5 . a²√3
- Volume: V = 5/12 . a³(3 + √5)
Pirâmide
- Área total: At = Al + Ab
- Volume: V = ⅓ . Ab . h
Geometria plana e espacial
Falamos até agora sobre as figuras da geometria espacial, mas também existe a geometria plana. A principal diferença entre as duas é que os objetos da geometria plana são bidimensionais, enquanto que os da espacial são tridimensionais.
Os objetos bidimensionais, como citados no começo, só têm duas medidas e, assim, não são providos de volume. São exemplos de objetos planos: círculo, quadrado, retângulo, triângulo, trapézio e losango.
A geometria espacial é importante, principalmente, na área da engenharia civil, engenharia mecânica, matemática, design e astronomia. Por isso, é muito importante estudá-la.
Sendo assim, teste seus conhecimentos sobre essa área da matemática com nossa lista de exercícios. Confira também nossas videoaulas ou cadastre-se gratuitamente no Stoodi!