Dízima periódica: o que é, exercícios e mais!
Mesmo sendo temas que muitas vezes aprendemos no Ensino Fundamental, a Matemática básica é algo que todo estudante que queira passar no Enem precisa saber bem. Deste modo, dentre estes conceitos podemos destacar a dízima periódica, até porque é um assunto que ainda causa muitas dúvidas nos vestibulandos.
Em vista disso, com o objetivo de esclarecer tudo sobre a matéria dízima periódica, preparamos um conteúdo explicando como identificá-la, apresentando cálculos envolvendo dízimas e, ainda, exemplificando a transformação de uma dízima periódica em fração. Boa leitura!
O que é dízima periódica?
Dízima periódica nada mais é do que um número que tem um ou mais algarismos que se repetem em uma ordem infinita. Em outras palavras, é um número que não tem fim, sendo caracterizado por uma repetição (chamamos o algarismo que se repete de período).
Mas, você deve estar se perguntando: se é um número que não tem fim, como podemos envolvê-lo em cálculos matemáticos com tanta facilidade assim?
A resposta é simples: toda dízima periódica pode ser escrita na forma de fração, não havendo exceções para essa regra.
Fração geratriz
A Fração geratriz, como o próprio nome sugere, é a fração da qual se origina a dízima periódica, ou seja, toda dízima tem a sua respectiva fração geratriz, que você aprenderá a calcular neste post.
Dízima periódica: simples e composta
Há dois tipos de dízimas na Matemática: a dízima periódica simples e a dízima periódica composta.
Dízima simples
São os casos em que, logo após a vírgula, há a repetição de algarismos, ou seja, o período da dízima se encontra imediatamente após a vírgula.
Desta forma, os seguintes números representam dízimas simples:
- 7,99999999… – com o numeral 7 compondo a parte inteira, e o 9 sendo o período;
- 0,45454545… – com o 0 compondo a parte inteira, e o 45 sendo o período;
- 458,222222… – com o 458 compondo a parte inteira, e o 2 sendo o período.
Dízima composta
Já a composta é caracterizada por, depois da vírgula, ter algarismos antecedentes ao período, isto é, há uma parte não periódica após a vírgula.
Veja os exemplos abaixo de dízimas periódicas compostas:
- 4,899999… – com o numeral 4 compondo a parte inteira, o 8 a parte não periódica, e o 9 sendo o período;
- 55,487545454… – com o numeral 55 compondo a parte inteira, o 487 a parte não periódica, e o 54 sendo o período;
- 1002,48888… – com o numeral 1002 compondo a parte inteira, o 4 a parte não periódica, e o 8 sendo o período.
Como transformar dízima periódica em fração?
Para achar a fração geratriz de uma dízima, primeiramente precisamos identificá-la, já que são raciocínios diferentes para as dízimas simples e as dízimas compostas.
Fração geratriz dízima periódica simples
Considere a dízima simples 1,222…
Para encontrarmos a sua fração geratriz, aplicamos os seguintes passos:
1º Passo
Escrever o numerador da fração, considerando os algarismos da parte inteira da dízima (neste caso o 1) juntamente com a parte periódica (2), formando, assim, o número 12. Depois, é preciso subtrair o numeral encontrado pela parte inteira da dízima, chegando, assim, ao numerador 11.
2º Passo
Já o segundo passo tem a finalidade de encontrar o denominador da fração geratriz. Desta forma, os denominadores serão sempre compostos pelo algarismo 9, e, a quantidade de 9 é determinada pela quantidade de algarismos que compõem a dízima periódica simples.
Aplicando esta regra, o nosso denominador para a dízima 1,222… será o 9.
Portanto, a fração geratriz para a dízima periódica simples descrita acima é composta pelo numerador 11 e denominador 9, isto é, 11/9.
Para fixar ainda mais a matéria, veja este outro exemplo, em que calcularemos a fração geratriz da dízima simples 4,1818…
1º Passo
Numerador = 418 – 4 = 414.
2º Passo
Denominador = 99 (já que o período é composto por 2 algarismos, o que demanda, assim, dois 9).
Temos, então, a fração geratriz igual a 414/99.
Fração geratriz dízima periódica composta
Para os casos em que a dízima é classificada como composta, temos os seguintes passos:
1º Passo
Achar o numerador da fração geratriz, realizando a subtração do número formado por: parte inteira + parte não periódica + período pelo numeral composto pela parte inteira + a parte não periódica.
Exemplificando, temos a dízima 54,6777…
O numerador de sua fração geratriz será 5467 – 546 = 4921.
2º Passo
O segundo passo corresponde a encontrar o denominador da fração, sendo ele composto por 9 (com a sua quantidade determinada pelo número de algarismos que se repete no período) e 0 (com a sua quantidade determinada pelo número de algarismos que integra a parte não periódica).
Seguindo o nosso exemplo, do denominador da fração geratriz da dízima 54,6777… será 90.
Concluindo, a fração geratriz desta dízima composta é 4921/90.
Como as dízimas podem ser cobradas em exercícios?
Acompanhe agora exemplos de exercícios que exigem do estudante a aplicação de conceitos que acabamos de aprender neste post, de como transformar uma dízima periódica em fração.
1) Determine a fração geratriz de cada dízima periódica abaixo:
a) 1,333…
b) 46,4545…
c) 1245,78444…
Resolução
a) Numerador da fração geratriz = 13 – 1 = 12.
Denominador da fração geratriz = 9.
Fração geratriz = 12/9.
b) Numerador da fração geratriz = 4645 – 46 = 4599.
Denominador da fração geratriz = 99.
Fração geratriz = 4599/99.
c) Numerador da fração geratriz = 1245784 – 124578= 1121206.
Denominador da fração geratriz = 900.
Fração geratriz = 1121206/900.
Sendo assim, percebemos que a matéria dízima periódica, por fazer parte do conteúdo de Matemática básica, tem uma grande importância para o estudante, até porque, sem estes conceitos básicos, os exercícios mais elaborados ficam mais complicados. Por isso, é interessante o vestibulando aprender o passo a passo descrito neste post e praticá-lo para fixar a matéria.
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