Fórmulas matemáticas: conheça as mais cobradas do Enem!
Conheça as principais fórmulas da Matemática!
Quem vai fazer a prova de Matemática e suas Tecnologias no ENEM ou em algum outro vestibular precisa estar afiado nas fórmulas matemáticas! Saber essas fórmulas é importante para economizar tempo na resolução dos exercícios, e não ter dúvidas de quando e onde utilizar cada uma delas.
Vamos às fórmulas mais importantes de geometria plana e espacial, conjuntos, probabilidade, análise combinatória, álgebra, logaritmo, progressão aritmética e geométrica e estatística.
Vamos começar pelas fórmulas mais importantes da Geometria!
Geometria plana
Soma dos ângulos internos de um polígono regular: S = (n – 2)*180º, onde n é o número de lados.
Fórmula de Euler: F + V = A + 2, onde F é o número de faces, V é o número de vértices e A é o número de arestas.
Trigonometria
Onde:
cat op = cateto oposto ao ângulo α
hip = hipotenusa
cat adj = cateto adjacente ao ângulo α
sin = seno
cos = cosseno
tan = tangente
Teorema de Pitágoras
(cat op)² + (cat adj)² = (hip)²
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
sin α = cat.op./hip.
cos α = cat.adj./hip.
tan α = cat.op./cat.adj.
Fórmulas fundamentais
sin² α + cos² α = 1
tan α = (sin α)/(cos α)
tan² α + 1 = 1/ (cos² α)
Lei dos senos
Dado um triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C, respectivamente:
(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c
Lei dos cossenos
Dado um triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C, respectivamente:
a² = b² + c² – 2*b*c*cos A
No plano cartesiano
Distância entre dois pontos: d(A,B) = √, onde A = (x1, y1) e B = (x2, y2).
Ponto médio: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
Equação da reta: y = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.
Equação do plano: n1*x + n2*y + n3*z + d = 0, onde (n1, n2, n3) é o vetor normal.
Equação da circunferência: (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = r², onde (x0, y0, z0) é o centro e r é o raio.
Áreas e perímetros
- Área do quadrado: A = l², onde l é o lado;
- Área do retângulo: A = l*c, onde l é a largura e c é o comprimento;
- Área do triângulo: A = b*h/2, onde b é a base e h é a altura;
- Área do losango: A = D*d/2, onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor;
- Área de um polígono regular: A = P*a/2. onde P é o perímetro e a é a apótema;
- Área do círculo: A = π*r², onde r é o raio;
- Perímetro do círculo: P = 2*π*r, onde r é o raio.
Geometria Espacial
Volumes e áreas
- Volume do cubo: V = l³, onde l é o lado;
- Volume do paralelepípedo: V = c*l*h, onde c é o comprimento, l é o lado e h é a altura;
- Volume do prisma regular: V = Ab*h, onde Ab é a área da base e h é a altura;
- Volume do cilindro: V = πr²*h, onde r é o raio da base e h é a altura;
- Volume do cone ou da pirâmide: V = Ab*h/3, onde Ab é a área da base e h é a altura. Não se esqueça que há exercícios que pedem para calcular somente o tronco;
- Área do cone: A = π*r*g, onde r é o raio e g é a geratriz;
- Volume da esfera: V = 4*π*r³/3, onde r é o raio;
- Área da esfera: A = 4*π*r², onde r é o raio.
Conjuntos
Conjunto é qualquer grupo de elementos. Nesse caso, não estamos falando propriamente de fórmulas matemáticas, mas de propriedades que servem para quaisquer conjuntos.
Sejam A e B conjuntos.
Propriedades
Comutativa: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A
Associativa: A ∪ (B ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) e A ∩ (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C)
Elemento neutro: A ∪ ∅ =A e A ∩ U = A, onde U é o conjunto universo
Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Probabilidade
A probabilidade é um campo muito importante na Matemática, porque ela serve de base para toda a Estatística.
Leis da probabilidade
Lei de Laplace: P (A) = nº casos favoráveis/ nº casos possíveis
União de acontecimentos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Probabilidade condicionada: P (A ∣ B) = P (A ∩ B)*P (B)
Acontecimentos independentes: P (A ∣ B) = P (A) e P (A ∩ B) = P (A)*P (B)
Análise combinatória
As fórmulas matemáticas de análise combinatória são úteis tanto no cálculo de probabilidades, para calcular, por exemplo, os casos favoráveis e possíveis, como também na Estatística.
Permutações (fatorial): Pn = n! = n * (n − 1) * … * 2 * 1
Arranjos simples: A (n,p) = n!/(n − p)!, onde n é o número de elementos do conjunto e p o número de elementos dos arranjos
Combinação: C (n, p) = A (n, p)/p! = n!/
Álgebra
A álgebra é o maior campo da Matemática, que se dedica ao estudo de funções. Vamos às fórmulas matemáticas que regem essas funções.
Função do 1º grau
y = ax, onde a é a constante de proporcionalidade
Função inversa
y = a/x, onde j é a constante de proporcionalidade
Função do 2º grau
Dada a equação ax² + bx + c = 0
Fórmula de Bhaskara
x = /2*a
Binômio discriminante (delta)
Δ = b² – 4*a*c
Vértice da parábola
V(-b/2a, -Δ/4a)
Logaritmos
Os logaritmos servem, em grande parte, para ajudar na resolução de equações exponenciais.
log a, b = x ⇔ b = a^x
log a, 1 = 0
log a, a = 1
log a, a^b = b
Propriedades
Produto: log a, (u * v) = log a, u + log a, v
Quociente: log a, u/v = log a, u – log a, v
Potenciação: log a, u^v = v * log a, u
Mudança de base: log a, u = log b, u/ log b, a
Progressão aritmética
A progressão aritmética, ou P.A., é uma forma de construir sequências de números que seguem uma lógica. Seu crescimento é linear.
Razão: r = un+1 – un
Termo geral: un = u1 + (n – 1) * r
Soma dos termos: Sn = (u1 + un) * n/2
Progressão geométrica
Já a progressão geométrica, ou P.G., tem crescimento exponencial, e por isso é muito usado nos cálculos de Matemática Financeira.
Razão: r = un+1/un
Termo geral: un = u1 * r^(n-1)
Soma dos termos: Sn = u1 * (1 – r^n)/(1 – r)
Matemática Financeira
Juros simples: Cn = C * (1 + k*n), onde Cn é o capital acumulado, C é o capital inicial, n é o número de parcelas e k é a taxa de juros por período
Juros compostos: Cn = C * (1 + k)^n
Estatística
A Estatística é um dos campos de aplicação da Matemática. As fórmulas matemáticas usadas na Estatística estão muito ligadas com o estudo de probabilidades.
Dado uma amostra com N observações, sendo elas x1, …, xN:
Média
M = (x1 + x2 + … + xN)/N
Mediana
Se N for par:
Me = / 2, k = N/2
Se N for ímpar:
Me = xk, k = (N + 1)/2
Desvio padrão
s = √{/N}
E agora, você está preparado para testar o que aprendeu de fórmulas matemáticas em exercícios? Então se cadastre gratuitamente na plataforma Stoodi e aproveite!