Fórmulas PA e PG: saiba o que são e como usá-las!
Se tem uma coisa que você precisa saber para fazer uma prova incrível no Enem é conhecer muito bem as fórmulas matemáticas. Um dos assuntos mais importantes são as fórmulas de PA e PG. Sempre é bom revisá-las, pois PA e PG são parecidas e fica fácil confundir os cálculos.
Você lembra o que são PA e PG? Vamos dar uma olhada cuidadosa nas fórmulas para entender esse importante tema da matemática!
O que são PA e PG?
PA e PG são sequências finitas ou infinitas de números que seguem uma lógica ou razão. PA é a sigla para progressão aritmética, enquanto PG significa progressão geométrica. Vamos conversar melhor sobre cada uma delas a seguir?
Progressão aritmética (PA)
A progressão aritmética é aquela sequência numérica em que cada termo (a partir do segundo) corresponde à soma do anterior com um valor chamado razão (r).
Ou seja, se você começa por um número qualquer e a ele soma um valor r, obtém o segundo número da PA. Então, somando novamente r, chega ao 3º termo e assim por diante. Uma PA de três termos, em que o primeiro termo seja chamado de a, pode ser mostrada assim:
PA (a, a + r, a + 2r)
Ou seja, a é o primeiro termo, a + r o segundo, e a + 2r o terceiro.
Tipos de PA
Quando observamos a evolução dos termos, podemos fazer algumas classificações sobre a PA. Confira!
PA finita
É aquela PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:
PA (0, 2, 4, 6, 8)
PA infinita
A PA é infinita quando o domínio em que ela está inserida é infinito. Veja o exemplo abaixo:
PA (10, 11, 12, 13, 14…)
PA crescente
Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.
PA decrescente
Quando a razão é negativa, ou seja, r < 0, então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o antecessor dele.
PA constante
A PA pode ser constante, se r = 0. Nesse caso, os termos são todos iguais.
Fórmula da PA
Chegamos ao ponto que interessa: qual a fórmula da PA? Depende do que você quer encontrar! Uma PA tem várias fórmulas, com diferentes informações. Para facilitar, nós separamos cada caso.
N-ésimo termo da PA
Os termos da PA são identificados pela posição que ocupam na sequência. Representativamente, você teria uma PA infinita mostrada assim:
PA (a1, a2, a3, a4, a5…)
Quando a questão do Enem falar sobre o N-ésimo (ou enésimo) termo de uma PA, ela está se referindo ao termo que está na posição n.
Por exemplo: e o décimo termo? Nesse caso, você precisa calcular qual o número que está na posição 10, ou seja, o termo a10. Fácil, não é? Basta ir somando a razão r até achar o 10º termo da PA.
Mas se a questão quiser que você diga qual o 123º termo? Então, temos que aprender a fórmula do N-ésimo termo. Ela também é chamada Termo Geral de uma PA, pois pode ser usada para descobrir o valor que está em qualquer posição. Tome nota:
an = a1 + (n – 1) . r
Viu só? Das duas formas, chegamos ao mesmo resultado.
Razão da PA
Agora, vejamos como encontrar a razão de uma PA. É simples, se você tiver pelo menos dois termos consecutivos. Se você souber an e também a(n-1) ou a(n+1), basta fazer a subtração entre o termo de maior posição e seu antecessor. Calcule:
r = an – a(n-1) ou r = a(n+1) – an
Caso não saiba dois termos consecutivos, use a fórmula do termo geral, isolando r. Desta forma:
R = (an – a1)/(n – 1)
Soma dos termos da PA
Essa é uma questão muito comum. Como saber a soma dos termos de uma PA (Sn), sem ter que calcular de cabeça cada termo e somar, correndo risco de errar? Aplicando a seguinte fórmula:
Sn = n . (a1 + an)/2
Cabe ressaltar que as PAs infinitas não têm uma fórmula para a soma dos termos, pois é impossível determiná-la.
Termo central da PA
E mais uma fórmula é importante para que você domine o assunto da PA: a fórmula do termo central ou termo médio da PA (TM). Como saber qual o número que ocupa a posição do meio em uma PA com n termos? Tome nota:
TM = (a1 + an)/2
Progressão geométrica (PG)
A progressão geométrica (PG) não é muito diferente da PA. A ideia é a mesma: uma sequência numérica que tem uma lógica. Agora, no caso da PG, a razão (na PG, ela é identificada por q) não é somada ao termo anterior, mas multiplicada. Para entender melhor, veja como uma PG pode ser representada:
PG ( a, a.q)
Ou ainda:
PG (a, a.q, a.q²)
Tipos de PG
Você pode classificar uma PG da mesma forma que uma PA. Confira!
PG finita
Tem número finito de termos. Por exemplo, a PG de 5 termos, com a1 = 1 e q = 10:
PG (1, 10, 100, 1000, 10000)
PG infinita
Já a PG infinita é aquela que está em um domínio infinito, sem especificação da quantidade de termos. Veja a PG com a1 = 1 e q = 2:
PG (1, 2, 4, 8, 16…)
PG crescente
Na PG crescente, cada termo é maior que o anterior. Isso acontece quando:
- o termo inicial é maior que zero e a razão é maior que 1 (a1 > 0 e q > 1) — assim, os números serão sempre positivos e cada vez maiores;
- o termo inicial é menor que zero e a razão está entre 0 e 1 (a1 < 0 e 0 < q < 1) — assim, ao multiplicar o número negativo pela razão, o próximo número será menor em módulo, mas estará mais próximo de zero e, portanto, crescendo.
PG decrescente
Já a PG decrescente é aquela em que cada termo é menor que o antecessor. Ela acontece em duas situações:
- o primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1 (a1 < 0 e q > 1) — assim, os próximos números serão negativos com módulo cada vez maior, ou seja, mais distantes de zero;
- o primeiro termo é positivo e a razão está entre zero e um (a1 > 0 e 0 < q < 1) — isso vai gerar números sempre positivos, mas cada vez menores.
PG constante
Na PG constante, a razão é igual a 1 e cada termo é igual ao anterior.
PG alternante
Essa PG alterna o sinal de cada membro quando o primeiro deles é diferente de zero e a razão é negativa (a1 ≠ 0 e q < 0).
PG estacionária
Acontece quando o primeiro termo é diferente de zero, mas a razão é zero, fazendo com que os demais também sejam nulos (a1 ≠ 0 e q = 0).
Fórmula da PG
As fórmulas da PA e PG são diferentes, portanto, tenha sempre atenção para não confundir na hora de resolver questões. Conheça cada fórmula da PG a seguir!
N-ésimo termo da PG
A fórmula do termo geral ou do N-ésimo termo da PG é a seguinte:
an = a1 . q(n-1)
Razão da PG
Para calcular a razão da PG, dividimos dois termos consecutivos: o último fica no numerador, e seu antecessor no denominador. Ou seja:
q = a(n+1)/an
Mas, sem conhecer dois termos consecutivos, podemos fazer o cálculo usando o termo geral da PG, substituindo os outros valores e encontrando q:
an = a1 . q(n-1)
Soma dos termos da PG
Para saber quanto dá a soma dos termos de uma PG (Sn), anote a fórmula:
Sn = a1 . (qn – 1)/(q – 1)
A PG infinita permite calcular a soma dos termos (S). A fórmula é a seguinte:
S = a1/(1 – q)
Exercícios sobre PA e PG
Agora você já tem todas as fórmulas de PA e PG, mas precisa praticar para não esquecer. Por isso, aproveite os exercícios sobre progressão aritmética e progressão geométrica que o Stoodi disponibilizou para você!
Mas caso queira assistir uma aula sobre PA ou sobre PG, você também pode. Veja as videoaulas que preparamos e saiba mais.
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