De circuitos eletrônicos a simulações de aviões em pleno voo: a resolução de sistemas lineares tem aplicações práticas nos mais diversos campos da ciência e engenharia

Sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas lineares pelo número de equações e de incógnitas que eles possuem. De forma geral, um sistema linear de m equações e n incógnitas também pode ser chamado de sistema linear m × n (lê-se “m por n”), e é constituído de m equações, onde cada equação contém as mesmas n incógnitas:

Chamamos de equação linear toda equação do tipo:

Equação linear na prática
Se o termo independente de uma equação linear for igual a zero (c = 0), a equação recebe um nome específico: equação linear homogênea.  Se um sistema for composto apenas por equações lineares homogêneas, ele é chamado de sistema linear homogêneo.

Veja como classificar sistemas lineares 

A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema linear. A classificação é feita de acordo com a quantidade de soluções que ele admite:

  • Sistema possível determinado (SPD): admite uma única solução;
  • Sistema possível indeterminado (SPI): admite infinitas soluções;
  • Sistema impossível (SI): não admite solução alguma.

Classificações de forma esquematizada:

Classificação de sistemas lineares

Como resolver sistemas lineares

Os sistemas lineares podem ser resolvidos basicamente de duas formas: por escalonamento ou pela Regra de Cramer. O escalonamento consiste em levar o sistema a um formato de “escada”, ou seja, de equação para equação, no sentido de cima para baixo, há um aumento dos coeficientes nulos da esquerda para a direita.

A Regra de Cramer é uma ferramenta versátil que fornece uma alternativa para o método do escalonamento. Sua aplicação tem início com o cálculo do determinante da matriz incompleta do sistema, que é a matriz formada pelos coeficientes do sistema. Considere, por exemplo, o sistema abaixo:

Exemplo de sistema 2x2

O determinante da matriz incompleta do sistema seria D, tal que:

Exemplo de matriz incompleta do sistema

Em seguida, calcularíamos os determinantes das matrizes obtidas pela substituição das colunas da matriz D pelos termos independentes:

Exemplos de matrizes das incógnitas

Segundo a Regra de Cramer, as soluções do sistema seriam dadas pelos quocientes:

Regra de Cramer

Uma grande vantagem da utilização da Regra de Cramer é a facilidade que esta ferramenta oferece para a discussão de sistemas lineares.

Discussão de sistemas lineares

Discutir um sistema é dizer para quais valores de um parâmetro o sistema é SPD, SPI ou SI. Com o cálculo da matriz incompleta do sistema e das matrizes das incógnitas, utilizada na Regra de Cramer, é possível tirar diversas conclusões sobre o sistema linear em estudo:

Discussão de sistemas lineares

Aplicações práticas dos sistemas lineares

A resolução de sistemas lineares tem aplicação nos mais diversos campos da ciência e da engenharia, como a eletrodinâmica, a eletrônica, a estática, a aerodinâmica, entre outras. Confira a aula introdutória do Stoodi sobre os sistemas lineares.

Sistemas Lineares: exercícios

Agora que você já sabe o que é sistema linear, vamos colocar em prática o que você aprendeu com alguns exercícios! A resposta estará ao final desse texto.

1) Resolva o sistema a seguir pela Regra de Cramer.

Exercício de sistema linear

a. S = {1, 2, 3}

b. S = {0, -1, 5}

c. S = {0, 5, –1}

d. S = {1, 2, –1}

e. S = {0, 0, 0}

2) A solução do sistema a seguir é:

Exercício de sistema linear

a. Exercício de sistema linear

b. Exercício de sistema linear

c. Exercício de sistema linear

d. Exercício de sistema linear

e. Exercício de sistema linear

3 – Sobre o sistema a seguir, é correto afirmar que:

Exercício de sistema linear

a. A solução é {1, 2, 3}

b. Possui infinitas soluções.

c. É um sistema homogêneo.

d. É um sistema impossível.

e. A solução é trivial.

Quer ver mais  exercícios e exemplos de resolução de sistemas lineares por escalonamento e pela Regra de Cramer? Então confira todas as aulas de matemática e as listas de exercícios disponíveis no Stoodi.

RESPOSTAS:

1.E

2.E

3.A

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