Trigonometria: entenda tudo!
A fase de preparação para o vestibular exige bastante dedicação e um roteiro de estudos estratégico para o perfil de cada candidato. E, por mais distante que esteja a data da prova, dominar todos os conteúdos com um nível de conhecimento aprofundado é uma missão praticamente impossível.
Em vista disso, se você conhece os temas mais recorrentes nos vestibulares e no Enem, isso garante uma grande vantagem perante os demais estudantes. Dentro da disciplina de Matemática, por exemplo, o assunto trigonometria costuma estar sempre presente nas provas e por isso merece atenção especial.
Como anda a sua qualidade de aprendizado nessa matéria? Se a compreensão está difícil ou se você ainda nem chegou nesse tema, fique tranquilo! Preparamos um post para que você entenda, de uma vez por todas, tudo que você precisa saber a respeito da trigonometria.
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O que é trigonometria?
A palavra trigonometria tem origem grega. O termo remete à ideia da medida de três ângulos e é formado pela junção dos vocábulos “trigono” (que significa triângulo) e “metrein” (que pode ser traduzido como medidas).
Trata-se de uma área da Matemática que, em princípio, ocupa-se do estudo das propriedades e relações dos triângulos retângulos — polígonos que possuem três lados e um ângulo de 90º.
Posteriormente, essas relações estenderam-se para a análise das propriedades de quaisquer triângulos, baseada nos teoremas das leis do seno e cosseno. Dessa forma, podemos dizer que o objetivo da trigonometria é o estudo das funções trigonométricas relacionadas aos ângulos e lados.
A trigonometria representou um avanço importante no cálculo desses elementos, pois antes eles desenvolviam somente os lados ou somente os ângulos. E essas mudanças vão refletir nas diversas aplicações práticas a que disciplina é destinada: engenharia, medicina, acústica, eletricidade, física, astronomia, entre outras.
História da trigonometria
Historicamente, não é possível determinar com exatidão a origem da trigonometria, pois, assim como a Matemática, ela apresenta registros de diversos estudiosos, especialmente das áreas de navegação, agrimensura e astronomia.
Existem relatos de que a trigonometria surgiu da necessidade dos astrônomos em calcular o tempo e das pesquisas sobre navegação, enfim, ela foi desenvolvida em virtude das necessidades de cada sociedade, e com elas foi evoluindo ao longo do tempo.
A trigonometria também pode ser encontrada em registros de contribuições importantes dos povos egípcios e babilônios, descobertas estas que foram úteis tanto para o surgimento quanto para o aperfeiçoamento desse ramo matemático — lembrando que ela continua sendo relevante nos dias atuais.
Nesse contexto, temos como prova alguns documentos, como o Papiro Rhinh, de origem egípcia, datado de aproximadamente 3000 anos, no qual foram encontrados problemas sobre a cotangente; e a tábua cuneiforme Plimpton 322, texto babilônico escrito entre os anos de 1600 e 1900 a.C., que mencionava problemas relacionados às secantes.
Contudo, os estudos científicos considerados o marco inicial da trigonometria foram aqueles realizados pelo astrônomo grego-otomano Hiparco de Niceia (190 a.C. – 120 a.C.). Por esse motivo, o estudioso é popularmente chamado de Pai da Trigonometria.
Aplicações da trigonometria
A trigonometria surgiu justamente em função da necessidade de se calcularem diversas situações do dia a dia — a altura de monumentos gigantes ou a distância entre dois pontos, por exemplo. E, hoje, ela continua sendo um instrumento importante para solucionar situações do nosso cotidiano.
Ela se faz importante nas obras de engenharia, como na construção de prédios, rampas, escadas; é extremamente útil para o sistema de aviação, a fim de demonstrar se a distância a ser percorrida pelo avião é suficiente para atingir altura necessária e não colidir com nenhum obstáculo, a exemplo da torre de controle.
Razões trigonométricas
A razão trigonométrica, ou relação trigonométrica, como também é conhecida, consiste no resultado obtido a partir da definição matemática que associa os ângulos de um triângulo retângulo às medidas dos seus respectivos lados.
Mas, antes de definir as razões trigonométricas, é preciso que o estudante ou o profissional conheçam a nomenclatura de cada lado do triângulo retângulo:
- cateto adjacente;
- cateto oposto;
- hipotenusa.
A hipotenusa corresponde ao maior lado de um triângulo retângulo e sempre estará posicionada do lado oposto ao ângulo reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º, e eles serão denominados oposto ou adjacente, conforme sua respectiva posição em relação a um determinado ângulo do triângulo retângulo.
Isso significa que, em um mesmo triângulo, cada cateto vai apresentar uma nomenclatura diferente, a depender do ângulo que se toma como base. Para diferenciá-los, diz-se cateto adjacente aquele que está junto ao ângulo de referência, sendo o outro lado o cateto oposto.
Vale ressaltar que as razões trigonométricas foram desenvolvidos a partir do seguinte raciocínio: se dois triângulos retângulos possuem um segundo ângulo congruente. logo, eles são semelhantes.
As medidas dos lados proporcionais e as medidas dos ângulos são congruentes, isto é, se tomarmos como base um ângulo agudo, a razão entre os seus lados apresentará o mesmo resultado.
Isso nos esclarece que, quando uma razão trigonométrica é relacionada a um determinado ângulo, tem-se o mesmo resultado para qualquer triângulo; pouco importa o tamanho dos seus lados, pois eles são proporcionais. Assim, a razão entre eles será igual.
Definidos esses conceitos, passemos a analisar cada uma das razões trigonométricas existentes.
Seno (sen)
É a razão trigonométrica formada com divisão do cateto oposto pela hipotenusa.
- sen = cateto oposto (X) / Hipotenusa (Y)
- sen = X / Y
Cosseno (cos)
A razão cosseno é dada pelo cateto adjacente sobre a hipotenusa.
- cos = cateto adjacente (Z) / hipotenusa (Y)
- cos = Z / Y
Tangente (tan)
A tangente é a razão encontrada pela fórmula: cateto oposto sobre cateto adjacente.
- tan = cateto oposto (X) / cateto adjacente (Z)
- tan = X / Z
Cotangente (cot)
Cotangente é a operação inversa à tangente, que compreende a divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto.
- cot = cateto adjacente (Z) / cateto oposto (X)
- cot = Z / X
Secante (sec)
A razão secante é aquela formada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.
- sec = hipotenusa (Y) / cateto adjacente (Z)
- sec = Y / Z
Cossecante (CSC)
Cossecante é a razão inversa do seno, calculada pela hipotenusa sobre cateto oposto.
- csc = hipotenusa (Y) / cateto oposto (X)
- csc = Y / X
Círculo trigonométrico
Para facilitar o estudo da trigonometria e, consequentemente, a visualização das funções trigonométricas, estas foram distribuídas em um plano cartesiano, e essa disposição gráfica é denominada círculo trigonométrico.
Seu objetivo é entender de forma clara a posição do seno, cosseno, tangente, cotangente e secante.
Tabela trigonométrica
A partir das razões trigonométricas, é possível calcular os valores de cada ângulo inteiro e construir a seguinte tabela de valores:
Tabela de funções trigonométricas
Trigonometria no triângulo retângulo
Como mencionado, a trigonometria é uma parte da Matemática voltada ao estudo das relações existentes nos triângulos retângulos. E que, posteriormente, também foram utilizados nos demais tipos de triângulos. São 3 relações trigonométricas no triângulo retângulo:
- seno;
- cosseno;
- tangente.
Identidades trigonométricas
As identidades trigonométricas funcionam como um sistema para comparar se duas equações são equivalentes, ou seja, são equações que têm por finalidade identificar a igualdade entre as funções apresentadas em cada lado.
Assim, a identidade é utilizada para simplificar expressões relacionadas às funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante, e cossecante.
Relação fundamental da trigonometria
A relação fundamental da trigonometria é o Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego Pitágoras de Samos (570 a.C. – 495 a.C.). Essa teoria mostra que, no triângulo retângulo, a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da sua hipotenusa.
A título de exemplo, no triângulo retângulo em que a hipotenusa é representada pela letra “a” e os seus catetos pelas letras “b” e “c”, respectivamente, a fórmula para se aplicar a Teoria de Pitágoras corresponde a: a² = b² + c².
Fórmulas da trigonometria
Fórmulas de adição e subtração de arcos
Fórmula: Relação Fundamental da Trigonometria
Fórmula: Tangente
Fórmula: Cotangente
Fórmula: Secante
Fórmula: Cossecante
Exercícios de trigonometria
1. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
Resposta: B
2. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3/3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m
Resposta: B
Apesar de o nosso primeiro contato com a trigonometria ser na fase escolar, e ganhar destaque durante a preparação para os vestibulares, esse conhecimento será aproveitado para várias situações do nosso cotidiano; principalmente para quem vai seguir carreira em uma área que exige muitos cálculos. Dessa forma, quanto maior for a dedicação na fase escolar, maiores as chances de sucesso e mais fácil será lidar com esse conteúdo no futuro.
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