Conceitos Básicos de Geometria Analítica - Eixo

Prof. Daniel timer 18:13

Nesta primeira aula online de conceitos básicos de geometria analítica você irá estudar o eixo. Conhecerá conceitos como o ponto origem, como definir o lado positivo e o lado negativo do eixo, o que é uma coordenada e como identificar pontos no eixo. Videoaula apresentada de forma bastante didática e com exemplos práticos para facilitar o seu entendimento.

Então a partir dessa aula, a gente vai começar a fazer o estudo da geometria analítica. E o que que é a geometria analítica? A geometria analítica, ela é uma forma algébrica da gente analisar elementos geométricos, então retas, pontos e assim por diante. Normalmente a gente está acostumado a falar dessas coisas de uma forma geométrica, ou seja, a gente faz um desenho daquele elemento e não fala disso em termos algébricos, ou seja, a gente não vai transformar isso em conta quando a gente está falando de geometria, pelo menos não de uma forma analítica. A geometria analítica, ela é uma ciência que une justamente essas duas áreas da matemática, então a gente vai unir a geometria com a álgebra. Então a gente vai analisar esses elementos geométricos utilizando as ferramentas da álgebra. Beleza? E o primeiro conceito que a gente vai utilizar ou na verdade, um conceito básico que a gente vai utilizar ao longo de todo o estudo da geometria analítica é o conceito de eixo, com origem e coordenadas de um ponto. Ok? Então se a gente tiver uma reta qualquer, a gente orienta essa reta em um sentido arbitrário, então aqui nesse caso a gente orientou essa reta para a direita e a gente vai definir sobre essa reta um ponto que a gente vai chamar de origem da reta, tá? A esse ponto que chama de origem, a gente vai atribuir o valor zero. E aí, se a gente atribui um zero e a gente orienta um sentido para essa reta, tudo o que tiver a partir do zero no sentido que a gente orientou vai estar definido como positivo. Tudo o que tiver a partir da origem dessa reta no sentido contrário ao sentido que a gente adotou como positivo, vai estar negativo, tá? Como se fossem os números representados na reta dos reais. A partir daqui a gente tem o zero e a partir daqui a gente vai ter os outros valores reais, então vou ter, por exemplo, o valor 1, poderia marcar aqui. Se eu definir agora esse tamanho aqui como uma unidade, todos os outros valores que são múltiplos dessa unidade vão estar com o mesmo tamanho, então por exemplo, posso falar que aqui é o 2, aqui é o 3, 4, 5 e assim por diante. Já do outro lado, eu vou ter, se pra cá é o +1, para cá vai ser -1. Então vai ser o -1, -2, -3, -4, -5 e assim por diante. Tá legal? A gente tem infinitos valores pra cá e infinitos valores pra lá. E se a gente definiu uma reta, uma origem e agora a gente definiu valores em cima dessa reta, a gente pode começar a marcar pontos em cima da reta. E aí vamos lá, então só definindo alguns nomes aqui. Isso aqui a gente vai chamar de origem do meu eixo e esses valores que a gente demarcou agora, a gente pode utilizar para referenciar pontos em cima do eixo, então por exemplo, se eu falar no ponto A e falar que esse ponto A tem uma coisa chamada coordenada, isso aqui é a coordenada do ponto A, então eu estou falando aqui que o ponto A tem coordenada igual a 3. Se eu estou falando que ele tem coordenado igual a 3 e se eu quero desenhar esse ponto em cima do eixo, esse ponto vai estar agora marcado em cima do 3. Então poderia falar que esse ponto aqui é o ponto A, ok? O ponto B tem coordenada -5 , então se eu estou marcando ele em cima desse acho que a gente desenhou, que é o eixo do X aqui, o ponto B estaria -5 e o ponto C tem coordenada √2. A √2 eu não sei exatamente quanto é, não sei de cabeça porque ele tem infinitas casas, é um número ir racional, mas eu sei que ele está em algum lugar entre 1 e 2, mais ou menos 1,4. Então vai tá um pouquinho antes da metade aqui do 1,5. Vou falar mais ou menos que ele está aqui, tá? Então a gente marcaria aqui, por exemplo, o ponto C. Então, a todos os números possíveis, a gente consegue atribuir uma posição no eixo e a toda posição no eixo, a gente consegue atribuir um único valor referente ao número, a coordenada daquele ponto. Tá legal? Então qualquer valor a gente consegue representar aqui no eixo e qualquer ponto do eixo pode ser representado por um valor, até os irracionais. Eles vão estar em algum lugar entre dois pontos racionais, ok? Então tendo definido origem e coordenada, a gente pode passar para o conceito de distância entre dois pontos. Então, se a gente estiver falando agora que a gente quer calcular, por exemplo, a distância entre o A e o C. Que que a gente pode falar? Como é que a gente pode analisar isso algebricamente? A distância entre a A e C, vamos salientar aqui de verde, vai ser essa distância aqui, que vai do C até o A. Concordam? Como que eu posso medir isso aqui agora? Eu posso medir isso, por exemplo, se eu definir aqui como meu 0 e eu aqui eu tenho um valor que é da coordenada do A, eu posso falar que esse tamanho aqui, vou marcar algumas distâncias aqui, esse tamanho em verde, que é o que eu quero calcular aqui, vou destacar aqui em cima, vai ser esse tamanho todo da origem até o A que está em amarelo menos, ou seja, este tamanho menos esse tamanho que vai do A até o C. Concordam? Se eu pegar esse tamanho todo e subtrair esse pedaço aqui, vai sobrar só o tamanho que eu quero, que é o que vai do C até o A. E o que é esse tamanho em amarelo? É a distância da origem até o A. Concordam? Que é o que? É a coordenada do ponto A, então posso falar que isso aqui é o XA. E esse tamanho em laranja aqui, ele é o que? É dá origem até o ponto C, então se a gente adotou isso aqui como origem e tem a coordenada dele aqui, esse tamanho vai ser igual à coordenada do ponto C. Então eu posso falar que a distância entre C e A ou esse tamanho aqui, vai ser XA menos XC, ok? E essa é a definição de distância entre dois pontos na geometria analítica, se a gente considerar um eixo apenas. Depois a gente vai ver uma outra forma para um plano cartesiano que são dois eixos ordenados. Então vamos lá, a distância entre dois pontos vai ser definida como XA menos XC e como o XA aqui é maior do que o XC, esse valor é positivo. Se a gente tivesse agora, por exemplo, calculando a distância entre o XC ou entre o C e o B, a gente teria aqui como XC menos XB um valor positivo. Se a gente fizesse entre B e C, faria XB menos XC, ia dar um valor negativo, ou pensa que se a gente fizesse XC menos XA, seria esse mesmo valor em módulo, só que negativo. Então pra não ter o problema do sinal aqui, a gente vai definir a distância entre dois pontos como o módulo da coordenada de um dos pontos menos a coordenada do outro ponto. Tá legal? Isso vale sempre, não importa a posição em que os pontos estão, se a gente colocar os valores das coordenadas deles lá dentro e tirar o módulo dessa subtração, a gente vai ter a distância entre os dois pontos, ok? Então vamos lá, se a gente tiver por exemplo, os pontos A, B e C com as coordenadas - 5, 3 e - 3, qual que é a distância entre A e B? Sem precisar desenhar eles no eixo. A gente vai direto na fórmula e a geometria analítica vai permitir a gente calcular essa distância sem precisar desenhar eles. Então a distância entre A e B vai ser módulo de XA menos XB, que é igual ao módulo da coordenada do A (que é - 5) menos a coordenada do B (que é 3). Isso aqui dá -5 menos 3 dá - 8. Módulo de - 8 dá 8. Então a distância entre o A e o B é 8, ok? Distância entre A e C vai ser módulo de XA menos XC. O XA é -5 e o XC é - 3, só que eu sempre vou colocar menos a coordenada, tá? Então coloco menos e agora a coordenada do XC que é - 3, a coordenada do C, desculpa, que é - 3, tá? Vai ficar menos - 3. -5 menos - 3, menos com menos dá mais. -5 mais -3 dá - 2. Então vai ser módulo de -2 que dá 2. Tá legal? Se a gente fosse, depois a gente vai representar isso no eixo, mas se a gente fosse inverter isso aqui, teria alguma diferença? Ia ficar -3 menos - 5 que dá 2. Módulo de 2 dá 2. Então seria a mesma coisa, ou seja, não importa se eu estou falando da distância entre A e C ou entre C e A, de fato tem que dar a mesma coisa. Se eu estiver falando qual a distância entre A e C, é esse tamanho. Qual a distância entre C e A? Tem que ser o mesmo tamanho e o valor dá o mesmo, mesmo, exatamente igual. Tá legal? Distância entre B e C vai ser pela fórmula, módulo da coordenada do B que é 3 menos a coordenada do C que é -3. 3 menos - 3, menos com menos dá mais, fica 3 mais 3 que dá 6. Então, módulo de 6 que dá 6. Distância entre B e A agora, que é exatamente que estava falando ó, aqui eu fiz XA menos XB, que era a distância entre A e B e agora distância entre B e A vai ser o que? XB menos XA, a gente só vai inverter as coisas aqui. XB é 3 e o XA é - 5, então vai ficar menos -5, menos com menos dá mais, fica + 5. 3 mais 5 dá 8, então dá módulo de 8 que dá exatamente 8. Tá legal? A gente vê que a distância entre A e B é a mesma distância entre B e A. Se a gente fosse representar esses três valores, esses três pontos aqui no eixo, o que que a gente teria? Vamos falar que aqui é o 0 nosso, a gente tem que representar o -3, o - 5 e o 3. Então vamos falar, por exemplo, que aqui seria o -3, o - 5 estaria um pouco mais para trás e o 3 estaria lá pro lado positivo. Então a gente teria aqui no -5 o ponto A, no menos -3 o ponto C e no 3 o ponto B. A distância entre A e B é o que? É daqui até aqui, do -5 até o 3. Quanto que dá esse tamanho? Dá 8, né? Do -5 até o 0, eu tenho 5 mais 3 dá 8. Verdade, 8 e 8, não importa se eu estou contando a distância daqui pra lá ou de lá pra cá. A distância é igual, distância sempre positiva, não existe distância negativa. Qual que é a distância agora entre A e C? Vou contar do - 5 até o -3, esse tamanho aqui tem que dar 2 e deu 2, deu 2 ali, tá? A distância entre B e C e esse tamanho aqui do menos 3 até o 0 mais a distância do zero até o 3, que dá 3 mais 3 que dá 6. Verdade. Um outro conceito que a gente vai ver é o de ponto médio entre dois pontos ou o ponto que fica exatamente no meio dos dois pontos. Se a gente tiver um eixo qualquer então ordenado, aqui marcamos a origem, aqui os pontos A e B. O ponto M, que a gente vai chamar de ponto M, vai ser o ponto exatamente na metade desse tamanho entre A e B, ok? Vou falar que isto daqui é M. Como que a gente pode achar as coordenadas desse ponto? Vamos imaginar que aqui seja, por exemplo, 2 e aqui seja 4, tá, as coordenadas. É óbvio que, se aqui é 2 e aqui é 4, quem está exatamente no meio é a coordenada número 3, então já sei que isso aqui teria que ser 3 e na verdade a forma que a gente vai usar na geometria analítica para calcular a coordenada nesse ponto no meio de dois pontos é o conceito de média aritmética entre as coordenadas dos outros dois. Então se esse tamanho aqui é 2, vou desenhar aqui embaixo de novo verde, esse tamanho é 2 e esse tamanho aqui, vou desenhar agora daqui até aqui, vou falar que aqui é 2 e aqui é 4. Se eu pegar esses dois tamanhos, encaixar um na frente do outro, então se eu pegar esse 2 aqui e encaixasse aqui na frente do 4, eu teria um tamanho total aqui de 6. Se eu pegar agora esse tamanho somado, dos dois tamanhos somados aqui, dividir exatamente na metade, eu vou cair exatamente no ponto médio dos dois pontos originais que vai ser aqui. Então se eu pegar agora 4 mais 2 dá 6 dividido por 2 dá 3, que é exatamente esse tamanho, tá? Então essa é a ideia, é pegar os tamanhos que eu tenho para os dois segmentos, somar estes tamanhos e dividir no meio, quando eu fizer isso eu vou ter sempre o tamanho do ponto médio entre os dois pontos. Tá legal? Então, a média aritmética a gente que acha o XM, que é a coordenada do ponto médio entre dois pontos, vou falar aqui que isso é o X1 mais X 2, que são os dois pontos que quero dividir sob 2. Tá legal? Por exemplo, pontos A 2, B 8 e C - 2, qual que é o ponto médio entre A e B? Vai ser a coordenada do A mais a coordenada do B sobre 2. XA mais XB sob 2. XA é 2 e o XB é 8, então vai ficar 2 mais 8 sob 2 que dá 10 sobre 2 que dá 5. Então 5 é o ponto exatamente entre 2 e 8. Se a gente for ver, a distância entre 5 e 2 é quanto? 3. E a distância entre 5 e 8 é 3 também, então verdade, ele está exatamente no meio do tamanho entre os dois pontos, tá? Ponto médio entre A e C. O A é 2 e o C é - 2, vai ser o XA mais o XC sob 2. XA é 2 mais o XC é -2, vai ficar mais -2 sob 2. Mais com menos dá menos, então vai ficar 2 menos 2 sob 2. 2 menos 2 dá quanto? Dá 0. 0 sob 2 dá 0. Então, o ponto médio ou a coordenada do ponto médio entre 2 e -2 é 0. Por que? Se a gente tem, por exemplo, aqui é o 2, que é o A que a gente marcou aqui até por coincidência, o - 2 tá desse lado. Se estou pegando o ponto médio entre - 2 e 2, quem que é? É o zero. Ele está exatamente na metade do caminho entre essa distância aqui, tá? Por isso que dá zero. Faz sentido. B e C, qual que é o ponto médio entre eles? O B é 8 e o C é -2. Vai ser o XB mais XC sobre 2. O XB é 8 mais o XC que é -2 sob 2. 8 mais -2, mais com menos fica menos, 8 menos 2 dá 6 sob 2, 3. Então a coordenada do ponto médio entre B e C é 3. Por que? Se a gente fosse desenhar também vai fazer sentido. Aqui eu tenho 0, o - 2 tá aqui e o 8 tá aqui na frente. Se eu quiser achar coordenada do ponto do meio entre os dois aqui, tem que dar três, que é o que deu ali. Vamos ver? A distância entre 3 e 8, é quanto? 5. De 3 até 8 tem o 5. Essa distância aqui é 5. E de 3 até -2 que é outro ponto que a gente queria ver? Também dá 5. Certo? Do -2 até o 0 eu tenho 2, do 0 ao 3 tenho mais, tenho 3. 2 mais 3 dá 5. Então essa distância aqui também é 5. Então se a gente está pegando o ponto médio entre -2 e 8, é o ponto com coordenada 3. Então dessa aula, o que a gente precisa fixar é o seguinte: a distância entre dois pontos 1 e 2 de coordenadas X1 e X2 é dada pelo módulo da diferença entre as coordenadas, então, distância entre 2 e 1 vai ser módulo de X 2 menos X1. É a mesma coisa se ao trocar a ordem d os pontos. Se eu fizer a distância entre 1 e 2, que vai ser módulo de X1 menos X 2, tem que dar igual, então tanto faz a ordem das coordenadas que eu coloco aqui dentro. Tá legal? É importante lembrar, aqui é menos e eu vou jogar aqui dentro a coordenada com o sinal dela, então se eu tiver lá um ponto com coordenadas -5, eu vou jogar o - 5 aqui. Se ficar menos -5 virá +5, mas eu vou jogar aqui dentro com a coordenada e esse menos aqui tem que, tem que a gente tem que tomar cuidado, tá? Já o ponto médio entre dois pontos quaisquer, a coordenada vai ser dada por XM igual a X1 mais X 2 sobre 2, ou seja, a média aritmética entre as coordenadas dos dois pontos.

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