Divisibilidade e Fatoração - Múltiplos e Divisores, Números Primos

Tudo bem? Hoje vamos falar um pouquinho de múltiplos e divisores e aí finalizando a gente fala um pouquinho de números primos. Pois bem, olha só, você lembra do conjunto dos números naturais? O conjunto dos números naturais, representado aqui pela letra "n", esse "n" aqui diferente, exótico, que tem um "i" na frente é o conjunto dos números naturais. Nós temos o 0 é o primeiro número natural, depois vem o 1, depois o 2, o 3, que é a ideia de contar elementos, contar, a ideia de contar, igual contar dedos, então 4, 5 pontinhos, pontinhos. Que aqui representa o quê? Reticências o 6, o 7, o 8, o 100, o mil, o milhão e assim vai, são infinitos números com a ideia de contagem. Pois bem. Nós queremos encontrar os múltiplos do 2, por exemplo, múltiplos do 2 são os números que aparecem na tabuada do 2, por exemplo. Então quando nós aprendemos a tabuada nós vimos lá o primeiro, o primeiro, o primeiro cálculo da tabuada: duas vezes zero, duas vezes zero, duas vezes zero, zero, todo número vezes zero é zero. Portanto, o resultado dessa multiplicação é o primeiro múltiplo do 2. Agora, quando a gente multiplica 2 pelo 1, duas vezes 1, 2. Duas vezes o 2, 4. Ou seja, estamos colocando aqui em ordem os múltiplos do 2 que são aqueles resultados da tabuada do 2. 0, 2, 4. Duas vezes 3, 6, duas vezes 4, 8, duas vezes 5, 10 e assim vai. Então, nós temos lá na tabuada do 2 aqueles resultados. Então vamos lá. 0 é que a gente acaba esquecendo do 0, mas o 0 é um múltiplo do 2. Lembra quando você brinca de par ou ímpar, você está lá, par, ímpar, aí o coleguinha, os dois um coloca zero, o outro coloca zero, aí um dos pares falou par, se saiu o 0, o 0 é o quê? Par ou ímpar? Par, quem disse par ganhou. Às vezes acontece aqui que ele fala que o 0 não vale, não como assim? O 0 vale sim, o 0 é um número é um número par. Por quê? Duas vezes 0 é o 0. Tudo bem? Ele é um número par, porque ele é um múltiplo do 2. Pois bem, então nós temos aqui. Nós colocamos os múltiplos do 2: 10, 12, 14, 16, 18, 20 e assim vai. Quando nós temos a reticências, significa que são infinitos números que são múltiplos do 2. Professor, mas na tabuada não vai até o 20? Sim, a tabuada, porque é até duas vezes 10 que dá 20. Porque nós fazemos a tabuada lá para as criancinhas pequenininhas até o 10, só que isso continua infinitamente. Portanto, aqui quando a gente fala dos múltiplos do 2 são infinitos números, por exemplo, o 100 é um múltiplo do 2. O 2016 é um múltiplo do 2. Agora, de maneira genérica, de maneira qualquer, de maneira arbitrária, nós vamos representar agora um múltiplo do 2. Olha só, eu coloquei aqui duas, duas vezes 0, 0, duas vezes 1, 2, duas vezes 2, 4 e assim vai. Agora, imagine o número 0 1 2 3 4 5. Agora um número qualquer aqui, número qualquer, número natural qualquer, nós representamos por "n". Esse aqui é um número qualquer, nessa ordem. Já que a gente multiplica por 2, olha, duas vezes 0, duas vezes 1, duas vezes 2, duas vezes 4, duas vezes "n", ou seja, "2n " é a representação de um múltiplo de 2, de um múltiplo qualquer, com uma expressão, então isso aqui é uma expressão para o múltiplo do 2. Tudo bem? Já que fizemos os múltiplos do 2, agora vamos colocar os múltiplos de 3. Professor, é só a tabuada. Sim, a tabuada, a tabuada do 3. Então vamos lá, 3 vezes 0, 3 vezes 0, 0, 3 vezes 1, 3, 3 vezes 2, 6, 3 vezes 3, 9, 3 vezes 4, 12, 3 vezes 5, 15 e assim vai infinitamente. Então aqui nós temos os múltiplos do 3: 15, 18, 21, 24 e assim vai, 30, 300, 3000, todos eles múltiplos de 3. Agora, de uma maneira genérica o que é um múltiplo de 3, 3 vezes "n", onde esse "n" aqui é um número natural, isso é importante destacar. Agora, mais um exemplo para múltiplos vamos colocar o do 11, múltiplos do 11, 11 vezes 0, 0, 11 vezes 1, 11, 11 vezes 2, 22, 11 vezes 3, 33, 11 vezes 4, 44, e assim vai, temos aqui os múltiplos do 11. De maneira genérica um múltiplo de 11 é escrito como 11 vezes "n", onde o "n" é o número natural. Tudo bem? Então essa é a ideia. Múltiplo sempre vai começar no zero, começa no zero e depois é o próprio número, então do 2: 0, depois já vai para o 2 que é o próprio número. Do 3: o 0, agora o próprio número. Do 11: o 0, o próprio número, depois só vai aumentando. Ou seja, múltiplo dá aquela ideia de maior do que o número, múltiplos do 4: 0, aí o 4, 8, 12, 16 e assim vai. Múltiplos do 7: 0, 7, 14, 21 e assim vai. Então a ideia de múltiplo, aquela coisa que o número ele é maior do que o próprio número. Professor, mas não tem o 0? Sim, o 0 vai ser de todos eles, o 0 é múltiplo de qualquer número. Tudo bem? Então só essa observação que tem que ser o 0 e o próprio número. Sim? E falou de múltiplos você pensa no quê? Na tabuada, múltiplo tabuada, primeiro com apoio da multiplicação, a tabuada são os múltiplos. Tudo bem? Agora vamos falar um pouquinho de divisores, divisores. Então, por exemplo, o número 20. Quem será que divide o 20 de tal maneira que a divisão seja exata, divisão exata. Então o 20, eu consigo dividir o 20 por 1 e essa divisão é exata? Sim, 20 dividido por 1 dá 20. O resultado é exato, não tem vírgula. Agora o próximo divisor do 20, o número 2, porque 20 dividido por 2 isso aqui vai dá 10, a divisão exata, ou seja, eu consigo separar em partes iguais sem quebrar. Agora o próximo 4, 20 dividido por 4, isso aqui vai dá 5, exato. Próximo, 20 dividido por 5, dá 4, exato. Agora no próximo, o 6 não é, o 7 não é, o 8 não é, o 9 não é, agora o 10, 20 dividido por dez, vai dá 2. Próximo, aqui o 10 já é a metade do 20, quando nós temos a metade, o próximo número vai ser exatamente o número, ou seja, 20. Logo, nessa sequência aqui nós temos os divisores do 20, todos esses números dividem igualmente o 20. É importante perceber que nos divisores o primeiro divisor de todos os números é o 1, de todos os números, e o último divisor é o próprio número. Portanto, em toda sequência de divisores o primeiro que a gente preenche vai ser com o número 1, e o último número é sempre o próprio número. No caso 18, sempre assim. Aí no meio a gente vai indo buscando esses divisores, então por exemplo, o 18, divisor do 18, o 1, o próximo 2, porque é par. Agora o 3, 18 dividido por 3, dá exato. Resultado dá 6. O 4 não divide o 18, divisão exata, o 5 não divide, divisão exata, o 6, 18 por 6 dá 3. O 7 não é, o 8 não divide o 18, o 9, 18 por 9 vai dá 2. Já é a metade? É a metade do 18? Agora o próximo é o próprio. Tudo bem? Portanto nós temos os divisores aqui, onde o primeiro é o 1 e o último divisor é o próprio. Repare que múltiplos são maiores do que o número, com exceção desses dois aqui, que um é igual e o outro é 0. Maiores do que o número, com exceção do próprio e do 0, maiores do que o número. Agora, divisores, os números são menores do que o número, menores ou iguais, porque nós temos o próprio. Do 18, menores, porque é muito comum os alunos com o tempo esquecerem, múltiplos, divisores, Múltiplos maiores, divisores menores. Tudo bem? Pois bem. Agora vamos falar de um conjunto de números muito importante e que aparece o tempo todo que é o conjunto dos números primos. Um número para ser chamado de primo ele tem que ter como divisor apenas ele próprio e o 1, ou seja, aqui meio não pode aparecer ninguém. Portanto, dito isso o 18 ele não é primo, porque para ser primo tem que ter como divisores o próprio número, número 1. E aqui no meio? Não. Aqui, 18 que é o próprio e o número um, mas aqui no meio? Não pode. Então o primeiro número primo é o número, o número 2. O número 2. Quem divide o 2? O 1 divide o 2, divisão exata, e o 2, o 2 divide o próprio 2, portanto o 2 ele tem apenas 2 divisores. Nossa, mas o 2 é par professor. Sim, o 2 é o único número par que é primo. Próximo número primo 3, o 3 é primo. Tem que dividir o 3, o 3 e o 1, ninguém mais divide essa divisão sendo exata. Próximo, o 4 é primo? Não, porque o 4 é par e o 2 divide o 4. Todo, qualquer outro número par não será primo, só o 2. Portanto o 4 não é, 5 é primo, tem que dividir o 5, o 5 e o 1. 6 é primo? Não, 6 é par. 7, 7 é primo. Quem divide o 7? O 7 e o 1. 8, 8 é par, não. 9, opa calma, o 9 é divisível por 3, então 9 não é primo. 10, par, não pode. 11, 11 sim, o 11, então 11 é um número primo. Próximo, 13, 13 é primo. Mais um, 14 não. 15 é divisível por 3 e por 5, não pode. 16 é par. 17, e assim vai pessoal, 17, 19, 20 não é, 21 não é, 22 não é, 23. E assim nós temos o conjunto dos números primos. Repare que o conjunto dos números primos ele é um infinito. Existem infinitos números primos. Vai ficando cada vez mais difícil de encontrar esses números primos, mas eles são infinitos. E aí você já percebe a diferença entre infinitos. Aqui nós temos infinitos números naturais, de contagem. Aqui, os múltiplos de 2 também são infinitos, os múltiplos do 3 também são infinitos, todos os múltiplos são infinitos, do 11 a mesma coisa. E aqui temos os números primos. Sim? Então, são infinitos números. Agora só para fechar a nossa aulinha de números de múltiplos, divisores e números primos. O número é chamado de primo, se tem 2 dois itens a cumprir, primeiro, o número tem como divisores ele próprio e o 1 e só. Tudo bem? É isso.