P.A. e P.G. - Progressão Aritmética - Sequências

Fala pessoal. Tudo bom? Bom, a gente vai começar agora o estudo das "PA" e "PG", assunto novo aqui para a gente e a primeira coisa que a gente vai ter que estudar ou entender para começar esse estudo são as sequências. A gente vai conhecer o que são sequências, ver as possíveis formas de determinar uma sequência e conhecer os nomes de quem aparece dentro de uma sequência. Tá legal? Então a primeira coisa que a gente vai ver é a anotação de sequência, como que a gente representa uma sequência formalmente aqui na matemática. Sempre as sequências que vierem no estudo, nos estudos, que a gente vai fazer agora, elas vão vir representadas nesse formato. Então entre parêntesis com os termos lá dentro, separados por vírgulas, e é importante dizer o que é uma sequência. Uma sequência é um conjunto de elementos estabelecidos numa certa ordem. Então vamos supor que você pegue, por exemplo, o dinheiro que você ganhou nos últimos 12 meses, somado aí, durante o mês inteiro você coloca esses valores numa ordem do primeiro mês até o décimo segundo mês. Isso formaria uma sequência, e a gente poderia colocar esses valores nessa anotação entre parêntesis com os valores do mês um, mês dois, meses três e assim por diante até o último mês, isso seria uma sequência desses valores. Qual que é o nome que a gente dá para cada um desses carinhas que aparecem aqui dentro separados por vírgula? São os termos da sequência. Então o "a1", que é esse primeiro cara que está aqui, a gente fala que ele é o primeiro termo, "a2" é o segundo termo, "a3" é o terceiro termo e assim por diante até o "an" que normalmente a gente fala que é o enésimo termo. Tá legal? A gente vai ver que existem basicamente duas possibilidades para sequências e também para as "PA" e "PG" depois, elas podem ser finitas ou infinitas. Vamos dar uma olhadinha? Nesse exemplo a gente tem aqui uma sequência representada com termos 1, 5, 9, 2, 1 e 8. Tá legal? Quem que é o primeiro termo nessa sequência? É o 5, se a gente fosse representar ela na forma geral aqui embaixo a gente identificaria todos os termos dela. Então o 9 é o " a2", o 2 é o "a3", o 1 é o "a 4" e o 8 é o "a5 ". Temos um número finito de termos, nós temos cinco termos nessa sequência, então ela é uma sequência finita. Tá legal? Vamos ver outro exemplo, a sequência dos números primos. Se a gente fosse escrever essa sequência como ela ficaria, quem seria o primeiro termo? O 2, né? É o "a1". Quem seria o próximo termo? É o 3, e o próximo? O 5. Quem é o próximo número primo depois do 5? O 7 e assim por diante. Aqui a gente tem infinitos termos, porque existem infinitos números primos, você pode sempre buscando novos números primos que você vai encontrar, então isso aqui é um exemplo de sequência infinita. Tá legal? Outra possibilidade de escrever uma sequência, vamos falar na sequência dos números pares entre 1 e 9 ordenados em uma ordem crescente. Como ficaria isso aí? O "a1" seria de novo o 2, o próximo seria o 4, o próximo seria o 6, depois o 8 e depois acabou, né? É entre 1 e 9 fechou, o próximo seria o 10, passaria do 9 então não entra. Temos aqui quatro termos, "a1","a2","a3" e "a4", cada um na ordem que está aqui em cima. Legal. Temos sequências aqui então infinitas e finitas, temos a nomenclatura dos termos e a a representação das sequências e agora a gente vai ver quais as possíveis formas de definir uma sequência que podem aparecer na sua prova. Bom, então existem basicamente três formas que vão aparecer na sua, que podem aparecer na sua prova, com as quais as sequências podem ser definidas. Está legal? É o que a gente chama de lei de formação da sequência, então são basicamente três formas que podem aparecer para você e a gente vai ver agora exemplos de cada uma dessas formas. Tá legal? O primeiro exemplo é o seguinte, uma sequência pode ser definida, se você definir o primeiro termo dessa sequência, na verdade não precisa ser o primeiro, pode ser qualquer termo dessa sequência e você definir uma regra que relaciona o próximo termo com o termo anterior, que é o que a gente tem aqui. Eu estou falando que o "an" da sequência ele é o "an" menos 1 mais 5. O que que isso quer dizer? Vamos lá, deixou eu escrever até o... anotação geral das sequências. Eu sei que o "an", não sei qual "n" que eu estou pegando qualquer um lá no meio, ele é o "an" menos 1, ou seja, ele é um termo anterior mais 5. Então se eu conhecer o primeiro termo dessa sequência, vocês concordam que eu consigo calcular o segundo? Sabendo o primeiro e sabendo essa regra? Se eu sei que o primeiro, sei que o primeiro é dois, eu sei que o próximo, o termo o próximo, é o anterior mais 5, então eu consigo calcular o próximo, ele é o anterior mais 5. Então quanto que vai ser isso aqui? Vai ser 2 mais 5 que dá 7. E eu consigo calcular o "a3", agora que eu tenho "a2"? Consigo, porque eu sei que o próximo termo é o anterior mais 5, concordam? Então, o próximo vai ser 7 mais 5 que dá 12. Próximo, o anterior mais 5, 17 e assim por diante. Tá legal? Isso aqui, não precisa ficar com desespero agora, a gente vai ver tudo com calma mais para frente, PA" e "PG", mas isso aqui já é uma "PA", está legal? Ela é uma "PA", já adiantando, mas não precisam ficar pensando nisso agora, ela é uma sequência onde a diferença entre os termos consecutivos é igual. Que é exatamente o que a gente tem aqui. Se eu pegar o "an" passar "an" menos 1 para o outro lado fico com "an" menos "an" menos 1 igual a 5. Só que aí já é uma definição de "PA". Beleza? Mas isso aqui era só para exemplificar essa primeira forma que a gente vai ver das três, de definir uma sequência, então se eu tenho um termo qualquer e uma regra ou uma relação entre os termos da sequência, eu consigo já definir minha sequência. Beleza? É uma das possíveis leis de formação, ok? A segunda, que a gente vai ver aqui, vamos lá. O "an" é igual a 3 elevado a "n". O que que isso quer dizer? Eu consigo definir uma sequência a partir daí? Consigo. Isso aqui é o que a gente chama de um termo geral de uma sequência. Por quê? Porque eu sei que eu consigo calcular qualquer "an" substituindo o valor de " n" aqui no 3 elevado a "n ". Por exemplo, se eu quiser calcular o "a1". O que que eu preciso fazer? " an" não é igual a 3 elevado a "n"? Então o "a 1" vai ser 3 elevado a 1 que dá 3, certo? O "a2" vai ser 3 elevado a 2, onde eu tenho "n" eu substituo "n", onde eu tenho 2 eu substituo 2, beleza? 3 elevado a 2, que é 3 ao quadrado, que é 9. O "a3" vai ser quem? Vai ser 3 elevado a terceira, que dá 27. E o "a4"? Vai ser 3 elevado à quarta, que dá 81 e assim por diante. Então, só com isso aqui eu já consigo definir minha sequência. Ele deveria ter especificado aqui qual que é o... qual é o range, a variação de "n" que a gente pode ter, aqui a gente pegou a partir do 1, mas normalmente se especifica isso, considerando que fosse a partir do 1 em diante, a gente teria essa sequência aqui 3, 9, 27, 81 e assim por diante. Beleza? Qual é a próxima forma que a gente vai ver de lei de formação? É pela própria definição da sequência, escrita, do jeito que está aqui. Qual que é a sequência dos cinco primeiros ímpares positivos? É moleza né? Se ele já está falando que é a sequência dos cinco primeiros ímpares positivos, basta escrever a sequência dos cinco primeiros ímpares positivos. Não tem segredo nenhum. Está escrito a definição, está escrita a sequência. Então vamos para dois exemplos aí, para ver como que isso pode aparecer na sua prova. Tá legal? Primeiro é o seguinte, é dado um termo geral de uma sequência aqui que é igual a: "an" igual a "n" igual a "n" sobre "n+1" e são pedidos os quatro primeiros termos da sequência. Beleza? Vamos calcular então cada um desses termos com base nesse termo geral, então se o "an" é igual a " n" sobre "n+1" o "a1" vai ser igual a 1 sobre 1+1. Certo? Em todo lugar que aparece o "n", quando eu quero calcular o "a1" eu vou substituir "n" por 1, tá. Fico com essa expressão aqui. Isso aqui dá quanto? Dá 1 sobre 1+1 que dá 2. Então o "a1" é igual a meio. Tá legal? O "a2" vai ser quem? Onde tiver "n" eu vou jogar 2, certo? Então vai ficar 2 sobre 2+1, que dá dois terços. Beleza? O "a3" onde tiver "n" vou jogar três. Então vai ficar 3 sobre 3+1. 3 Sobre 3+1 que dá 3 quartos. E o "a4" onde tem "n" vou jogar o 4 vai ficar 4 sobre 4+1 que dá quatro quintos. Tranquilo né? Como que a gente escreveria essa sequência? Então ficaria o "a1" igual a meio, o "a2" dois terços, o "a 3" três quartos, e "a 4" quatro quintos. Sequência finita, beleza? Tranquilinho. Próximo exemplo, o termo geral agora é: "an" igual a 2 vezes 5 elevado "n-1". Parece um pouco mais complexa que essa, né? Mas a gente vai ver que é bem tranquila também. A pergunta é: Qual é o quarto termo dessa sequência? Se a gente quer achar o quarto termo a gente precisa achar os termos anteriores nesse caso? Não, né? Se ele deu o termo geral, eu consigo achar o termo que eu quiser, basta substituir o "n" pelo termo que eu quero achar, né. Se eu quero o quarto termo vou substituir " n" por 4, beleza? Então eu quero achar o "a4", isso vai ser 2 vezes 5 elevado a quando? Onde tem " n" vou substituir por 4, certo? Então 5 elevado a "4-1 ". Beleza? Isso dá duas vezes 5 elevado a 3. Que aí duas vezes... 5 ao cubo dá quando? Já memorizou lá as potências de 5? Precisa memorizar pra prova, precisa usar isso aí, sem hesitar. Beleza? Dá 125. Duas vezes 125 dá 250, então o "a4" dessa sequência é igual a 250. Tranquilo? Esses eram os dois exemplos, os dois exemplos que a gente tinha pra hoje. Dessa aula o que a gente precisa lembrar? Precisa conhecer a forma de definir sequências, que é essa forma entre parênteses, com os termos em ordem, na ordem colocada. Precisa saber se a gente quer calcular o quarto termo, por exemplo, você vai sempre procurar o "a4" se for o quinto termo "a5", assim por diante. E precisa lembrar dessas três possibilidades de lei de formação, aquela que relaciona um termo anterior com o próximo termo, que vai ser muito usada nas "PA" e "PG". O termo geral, que dá uma lei para qualquer termo que você queira achar dessa sequência e a outra forma lá que era uma regra por extenso, escrever por exemplo, o que a gente tinha visto lá dos cinco primeiros ímpares positivos. Aí você consegue já determinar a sequência que você está buscando. E isso tudo vai ser base para o que a gente vai ver agora que são as "PA" e "PG".