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Resumo de Análise Combinatória - Matemática

Quer estudar Análise Combinatória? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Princípio Fundamental da Contagem

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Se um experimento é composto por eventosA, B, C, ..., Ze cada evento pode tern_A, n_B, n_C, ..., n_Z, resultados diferentes, então o total de resultados possíveis (sequências de resultados dos eventos) para o experimento é dado por:

n_A\cdot n_B\cdot n_C...n_Z

AULA 2

Fatorial

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Sejan um número natural maior ou igual a 2. Então definimos o fatorial de n como:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1

Define-se ainda:

  • 0!=1;
  • 1!=1.

AULA 3

Arranjos com Repetição

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Em diversos problemas queremos descobrir os diferentes resultados possíveis para um experimento referente a um único evento ou ação, que temn resultados possíveis, porém repetido k vezes (Ex: jogar uma moeda, que tem 2 resultados possíveis, por 5 vezes consecutivas). Se a ordem dos resultados IMPORTA, chamamos as sequências de resultados de ARRANJOS. Se a ordem NÃO IMPORTA, chamamos as sequências de resultados de COMBINAÇÕES.

Os arranjos, portanto, são as sequências de resultados onde a ordem importa. Por exemplo, um resultado do tipo ABC é diferente de um resultado do tipo ACB.

Considerando que possa haver repetição nos resultados, o número total de arranjos de n elementos com k elementos em cada sequência (arranjo de n elementos tomadosk ak) é dado por:

A_{n,k}=n^k

Obs: esta fórmula só é válida quandopode haver repetição de elementos.

AULA 4

Arranjos sem Repetição

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Considerando agora que não possa haver repetição de elementos nos resultados, ou seja, em cada realização do evento, eliminamos o resultado obtido no evento anterior (Ex: retirar 3 bolas numeradas de uma urna sem reposição), o número total de arranjos den elementos comk elementos em cada sequência (arranjo den elementos tomadosk ak) é dado por:

A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

Obs: esta fórmula só é válida quando não há repetição de elementos.

AULA 5

Permutações

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As permutações são um tipo específico de arranjos, quando:

  • não há repetição, e

  • o número de elementos a serem tomados para compor o resultado é igual ao número de elementos existentes no conjunto.

Em outras palavras, as permutações são os arranjos den elementos tomadosnan. Portanto:

P_n=A_{n,n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!\Rightarrow P_n=n!

AULA 6

Permutações com Elementos Repetidos

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Se tivermos elementos repetidos na permutação, calculamos a quantidade de permutações como:

P_n^{n_1,n_2,n_3,...,n_r}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot ...\cdot n_r!}

AULA 7

Combinações

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As combinações são como arranjos, porém a ordem dos elementos que compões um resultado não importa, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um resultado ACB. Neste caso, fala-se das combinações den elementos tomadosk ak, e esta quantidade é calculada como:

C_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}

AULA 8

Recapitulação e Resumo

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Podemos resumir as fórmulas de análise combinatória segundo o esquema abaixo: