Resumo de Binômio de Newton - Matemática

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AULA 0

Números Binomiais

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Sejamn ep dois números naturais com n\geq p. Define-se então o número binomial de classek:

\left (\frac{n}{k} \right )=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Observe que:

\left (\frac{n}{0} \right )=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1

\left (\frac{n}{1} \right )=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}=n

\left (\frac{n}{n} \right )=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!\cdot 0!}=\frac{n!}{n!\cdot 1!}=1

AULA 1

Propriedades dos Números Binomiais

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Números binomiais complementares

Sep+q=n, dizemos que os números binomiais\left ( \frac{n}{p} \right )e\left ( \frac{n}{q} \right ) são complementares. Observe que os dois tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores é igual a este numerador.

 

Propriedades dos números binomiais

Propriedade 1

\left ( \frac{n}{p} \right )=\left ( \frac{n}{q} \right )\Rightarrow\left \{ p=q\; \; ou \; \; p+q=n\right \}

Propriedade 2: Relação de Stifel

\left ( \frac{n}{p} \right )+\left ( \frac{n}{p+1} \right )=\left ( \frac{n+1}{p+1} \right )

AULA 2

Triângulo de Pascal

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N/P01234
0\left ( \frac{0}{0} \right )   ...
1\left ( \frac{1}{0} \right )\left ( \frac{1}{1} \right )  ...
2\left ( \frac{2}{0} \right )\left ( \frac{2}{1} \right )\left ( \frac{2}{2} \right ) ...
3\left ( \frac{3}{0} \right )\left ( \frac{3}{1} \right )\left ( \frac{3}{2} \right )\left ( \frac{3}{3} \right )...
4...............

N/P01234
01   ...
111  ...
2121 ...
31331...
4...............

Observações

  • Em cada linha do triângulo, o primeiro e o último elementos valem 1;

  • A partir da 3ª linha, cada elemento é a soma do elemento acima dele com o elemento anterior da linha de cima (decorrência da Relação de Stifel);

  • Numa linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais;

  • A soma dos elementos de cada linha do triângulo é uma potência de 2, cujo expoente é o número da linha:

\left ( \frac{n}{0} \right )+\left ( \frac{n}{1} \right )+ \left ( \frac{n}{3} \right )+...+\left ( \frac{n}{n} \right )=2^n

AULA 3

Teorema das Linhas, Colunas e Diagonais

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O triângulo de Pascal pode ser escrito na forma binomial, figura da esquerda, ou a partir do resultado de cada binômio, figura da direita.

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulos.png

 

Propriedades do triângulo de Pascal

1. Os binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

 

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulopasc01.png

Escrito na forma de binômio:

 

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulopasc01b.png

 

De modo geral segue a seguinte relação:

 

 

Exemplo

,

 

2. A soma dos binomiais da linha n é igual a 2n.

 

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulopasc02.png

 

Ou de forma genérica

 

 

Exemplo

 

 

3. A soma dos elementos de uma coluna é igual ao elemento que está avançado uma linha e uma coluna, tomado a partir do último elemento.

 

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulopasc03.png

Observação: A soma inicia-se a partir do primeiro elemento da coluna, ou seja, do binômio do tipo.

Genericamente a propriedade é escrita da seguinte forma:

Exemplo

 

 

4. A soma da diagonal é igual ao elemento que está imediatamente abaixo da última coluna.

C:\Users\Gustavo\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCacheContent.Word\triangulopasc04.png

Observação: A soma em diagonal tem o elemento da primeira coluna do triângulo como sua primeira parcela. Ou seja, o binômio do tipo.

De modo geral a propriedade pode ser escrita do seguinte modo:

Exemplo:

   

AULA 4

Binômio de Newton

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Sabemos que:

(x+a)^0=1

(x+a)^1=x+a

(x+a)^2=1x^2+2x\, a +1a^2

(x+a)^3=1x^3+3x^2\, a +3xa^2+1a^3

(x+a)^4=1x^4+4x^3\, a +6x^2a^2+4ax^3+1a^4

...

Obseve que os coeficientes de cada desenvolvimento formam a linha do triângulo de Pascal de ordemn, onden é o expoente de(x+a)^n. Então, podemos escrever:

(x+a)^n=\left (\frac{n}{0} \right )x^na^0+\left (\frac{n}{1} \right )x^{n-1}a^1+\left (\frac{n}{2} \right )x^{n-2}a^2+...+\left (\frac{n}{n} \right )x^0a^n

AULA 5

Termo Geral do Binômio de Newton

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Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão:

T_{p+1}=\left (\frac{n}{p} \right )x^{n-p}a^p

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