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Resumo de Círculo e Circunferência - Matemática

Quer estudar Círculo e Circunferência? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Definição / Elementos / Posições Relativas

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Definições

Circunferência: Conjunto dos pontos coplanares equidistantes a um ponto fixo (centro da circunferência).

Círculo:  União da circunferência com todos os seus pontos internos.

Elementos

  • Centro: Ponto central da circunferência. Ex: ponto A;

  • Arco:B\hat{C}D;

  • Corda: Segmento com extremos em dois pontos distintos da circunferência.Ex:\overline{BE}, \overline{CD};

  • Diâmetro: Corda que passa pelo centro. Ex:\overline{BE};

  • Raio: Segmento com extremos em um ponto da circunferência e no centro.Ex:\overline{AB},\overline{AE}.

 

Posições relativas entre pontos e circunferências

Sejam:

  • d = distância entre o centro e o ponto;

  • r = raio da circunferência.

Temos que:

  • Ponto pertencente à circunferência (A): quando  d = r;

  • Ponto externo à circunferência (B): quandod>r;

  • Ponto interno à circunferência (C): quandod<r.

 

Posições relativas entre retas e circunferências

Sejam:

  • d = distância entre o centro e a reta

  • r = raio da circunferência

Temos que:

  • Reta tangente à circunferência (s): quandod = r, e há apenas um ponto de intersecção entre a reta e a circunferência;

  • Reta externa à circunferência (t): quando d>r, e não há pontos de intersecção entre a reta e a circunferência;

  • Reta secante à circunferência (u): quandod<r, e há dois pontos de intersecção entre a reta e a circunferência.


AULA 2

Comprimento de uma Circunferência

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Sejam:

  • C = comprimento da circunferência

  • r = raio da circunferência

Temos que:

C = 2\pi r=\pi d

 

Comprimento de Arco

Sejam:

  • c= comprimento do arco

  • \alpha = ângulo do arco

Temos que:

c= \frac{\pi r\alpha}{ 180^o}

 

Radiano

Um radiano é a medida de um arco com comprimento igual à medida do raio.

AULA 3

Ângulo Central e Ângulo Inscrito

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Definições

Ângulo central (\beta ): o vértice é o centro da circunferência.

Ângulo inscrito(\alpha ): o vértice pertence à circunferência e pelo menos um dos seus lados é secante a ela.

Também temos que:

\beta =2\alpha

Triângulo inscrito na circunferência

Quando o triangulo inscrito tem como um dos lados o diâmetro da circunferência, temos que:

  • O ângulo do arco\hat{BC}mede 180^o

  • \alpha + \beta =90^o

  • ABC é triangulo retângulo

  • A mediana do ∆ABC o divide em dois triângulos isósceles: o\Delta ABOe\Delta AOC

AULA 4

Quadrilátero Inscrito numa Circunferência

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AULA 5

Segmento de Reta Tangente

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Sejam:

  • P = ponto externo a circunferência

  • \overline{AP} , \overline{BP}= retas tangentes a circunferência

Temos que:

  • \Delta AOP=\Delta BOP

  • \overline{AP} = \overline{BP}

 

AULA 6

Quadrilátero Circunscrito a uma Circunferência

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  • \overline{AB}+ \overline{CD}= \overline{BC}+ \overline{AD}

AULA 7

Posições Relativas de Duas Circunferências

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Sejam duas circunferências, e sejam:

  • c_1, c_2 = centros das circunferências

  • r_1, r_2= raios das circunferências

  • d = distância entrec_1 e c_2

 

Exteriores

  • d > r1 + r2

 

Interiores

  • d > r1+ r2

 

Secantes

  • r_1- r_2 < d < r_1+ r_2

 

 

Tangentes externamentes

  • d = r_1+ r_2

Tangentes internamentes

  • d = r1 + r2

​​​​​​​​​​​​​​

AULA 8

Potência de Ponto

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  • \overline{PA}\cdot \overline{PB}= \overline{PC}\cdot \overline{PD}

  • \overline{AP}\cdot \overline{BP}= \overline{CP}\cdot \overline{DP}

 

  • \overline{PT}^2= \overline{PA}\cdot \overline{PB}

 

AULA 9

Área do Círculo / Coroa Circular

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Área do Círculo

Área=\pi r^2

 

Área da Coroa Circular

Sejam duas circunferências com o mesmo centro, sendo que uma é maior que a outra, e sejam:

  • r_1= raio da circunferência maior;

  • r_2= raio da circunferência menor.

Temos que:

\acute{A}rea=\pi \left ( r\frac{2}{1}-r\frac{2}{2} \right )

 

AULA 10

Área do Setor Circular / Segmento Circular

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Área do setor circular

Seja:

  • \alpha = ângulo do setor circular

Temos que:

\acute{A}rea= \frac{\pi r^2\alpha }{360^o}

 

Área do segmento circular

\acute{A}rea= \frac{R^2}{2}\left ( \frac{\pi \alpha }{180^o}-sen\alpha \right )

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