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Resumo de Congruência e Semelhança de Triângulos - Matemática

Quer estudar Congruência e Semelhança de Triângulos? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Congruência de Triângulos

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Dois triângulos são congruentes se, e somente se:

  • Os ângulos internos são congruentes;

  • Os lados são congruentes.

 

Casos

  • LAL:Lado-ângulo-lado;

  • ALA:Ângulo-lado-ângulo;

  • LLL:Lado-lado-lado;

  • LAA_o:Lado-ângulo-ângulo oposto.

Atenção: no triângulo retângulo, há um caso adicional:

  • CH:Cateto-hipotenusa.

AULA 2

Teorema da Bissetriz Interna

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Observe um triângulo dividido por sua bissetriz interna:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Interna diz que vale a relação:

\frac{b}{m}=\frac{c}{n}

AULA 3

Teorema da Bissetriz Externa

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Observe um triângulo e sua bissetriz externa:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Externa diz que vale a relação:

\frac{c}{n}=\frac{b}{m}

AULA 4

Semelhança de Triângulos - Definição

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Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos internos forem respectivamente congruentes e seus lados correspondentes proporcionais.

Considere os triângulos abaixo, que atendem a estas condições.

Observe que:

\hat{A}\equiv \hat{D}(\alpha )

\hat{B}\equiv \hat{E}(\beta )

\hat{C}\equiv \hat{F}(\gamma )

Portanto, podemos dizer que os triângulos são semelhantes, nesta ordem:

\Delta ABC\sim \Delta DEF

Neste caso, valem as seguintes relações:

\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=k

Chamamoskde razão de proporção entre os triângulos.

 

Relação entre perímetros

Dados dois triângulos semelhantes de razão de semelhança k, seus perímetros também são proporcionais, obedecendo à mesma razão de semelhança:

k=\frac{P}{p}

 

Caso especial

Considere dois triângulos na configuração abaixo:

 

AULA 5

Semelhança de Triângulos - Casos de Semelhança

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Para identificar triângulos semelhantes, podemos buscar os seguintes casos:

  • AA– Ângulo-ângulo: pelo menos dois ângulos internos congruentes;

  • LLL– Lado-lado-lado: todos os três lados proporcionais;

  • LAL– Lado-ângulo-lado: um ângulo congruente e os dois lados adjacentes a ele proporcionais. Atenção: é necessário que o lado-ângulo-lado estejam nesta ordem para que seja garantida a relação de semelhança.

AULA 6

Semelhança de Triângulos - Base Média de um Triângulo

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Considere o triângulo ABC e o triângulo AMN, onde M é ponto médio de AB e N é ponto médio de AC, conforme figura abaixo:

Neste caso,\Delta ABC\sim \Delta AMNe vale a relação:

\overline{MN}=\frac{\overline{BC}}{2}

AULA 7

Polígonos Semelhantes

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Definição: dois polígonos convexos são semelhantes se, e somente se:

  • Seus ângulos internos forem congruentes, respectivamente;

  • Seus lados correspondentes forem proporcionais.

Neste caso, todos os lados correspondentes podem ser escritos como uma razão que será igual à razão de semelhança k entre os dois polígonos.

AULA 8

Razão de Semelhança entre Áreas

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Definição: a razão entre as áreas de dois polígonos convexos semelhantes é igual à razão de semelhança entre eles (entre lados correspondentes, entre perímetros, etc.) ao quadrado.

Em outras palavras: sejak a razão de semelhança entre dois polígonos convexos semelhantes quaisquer. Então a razão entre suas áreas será:

\frac{A_{Pol\acute{i}gono\: 1}}{A_{Pol\acute{i}gono\, 1}}=k^2