Resumo de Congruência e Semelhança de Triângulos - Matemática

Dois triângulos são congruentes se, e somente se:

• Os ângulos internos são congruentes;

• Os lados são congruentes.

Casos

• Lado-ângulo-lado;

• Ângulo-lado-ângulo;

• Lado-lado-lado;

• Lado-ângulo-ângulo oposto.

Atenção: no triângulo retângulo, há um caso adicional:

• Cateto-hipotenusa.

Observe um triângulo dividido por sua bissetriz interna:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Interna diz que vale a relação:

Observe um triângulo e sua bissetriz externa:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Externa diz que vale a relação:

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos internos forem respectivamente congruentes e seus lados correspondentes proporcionais.

Considere os triângulos abaixo, que atendem a estas condições.

Observe que:

Portanto, podemos dizer que os triângulos são semelhantes, nesta ordem:

Neste caso, valem as seguintes relações:

Chamamosde razão de proporção entre os triângulos.

Relação entre perímetros

Dados dois triângulos semelhantes de razão de semelhança k, seus perímetros também são proporcionais, obedecendo à mesma razão de semelhança:

Caso especial

Considere dois triângulos na configuração abaixo:

Para identificar triângulos semelhantes, podemos buscar os seguintes casos:

• – Ângulo-ângulo: pelo menos dois ângulos internos congruentes;

• – Lado-lado-lado: todos os três lados proporcionais;

• – Lado-ângulo-lado: um ângulo congruente e os dois lados adjacentes a ele proporcionais. Atenção: é necessário que o lado-ângulo-lado estejam nesta ordem para que seja garantida a relação de semelhança.

Considere o triângulo ABC e o triângulo AMN, onde M é ponto médio de AB e N é ponto médio de AC, conforme figura abaixo:

Neste caso,e vale a relação:

Definição: dois polígonos convexos são semelhantes se, e somente se:

• Seus ângulos internos forem congruentes, respectivamente;

• Seus lados correspondentes forem proporcionais.

Neste caso, todos os lados correspondentes podem ser escritos como uma razão que será igual à razão de semelhança k entre os dois polígonos.

Definição: a razão entre as áreas de dois polígonos convexos semelhantes é igual à razão de semelhança entre eles (entre lados correspondentes, entre perímetros, etc.) ao quadrado.

Em outras palavras: seja a razão de semelhança entre dois polígonos convexos semelhantes quaisquer. Então a razão entre suas áreas será: