Resumo de Determinantes - Matemática

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AULA 1

Determinante de uma Matriz

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O determinante de uma matriz é um número real associado a ela, calculado segundo algumas regras. Define-se o conceito de determinante de uma matriz para as matrizes quadradas.

Dada uma matrizA, indica-se o determinante da matriz pelo númerodetA ou pelo símbolo\left | A \right |.

 

Matriz de ordem 1

O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao seu único elemento.

A=[a_1_1]\Rightarrow det A =a_1_1

 

Matriz de ordem 2

O determinante de uma matriz de ordem 2 é obtido pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária:

A=[a_1_1 a_1_2 a_2_1 a_2_2 ]\Rightarrow det A =a_1_1\cdot a_2_2-a_1_2\cdot a_2_1

 

Matriz de ordem 3 - Regra de Sarrus

O determinante de uma matriz de ordem 3 é facilmente obtido por uma regra conhecida como regra de Sarrus:

A=[a_1_1 a_1_2 a_1_3 a_2_1 a_2_2 a_2_3 a_3_1 a_3_2 a_3_3 ]\Rightarrow det A =a_1_1\cdot a_2_2\cdot a_3_3+a_1_2\cdot a_2_3\cdot a_3_1+a_1_3\cdot a_2_1\cdot a_3_2 -a_1_3\cdot a_2_2\cdot a_3_1-a_1_1\cdot a_2_3\cdot a_3_2-a_1_2\cdot a_2_1\cdot a_3_3

A regra de Sarrus pode ser feita de forma prática copiando-se as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calculando-se os produtos dos elementos segundo as retas conforme a figura:

[a_1_1 a_1_2 a_1_3 a_2_1 a_2_2 a_2_3 a_3_1 a_3_2 a_3_3 ]a_1_1 a_1_2 a_2_1 a_2_2 a_3_1 a_3_2

 

AULA 2

Cofator e Teorema de Laplace

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Cofator de um elemento

Assim como calculamos o determinante de uma matriz, podemos calcular o cofator de um elemento. O cofator de um elementoa_i_j é definido como:

cof(a_i_j)=(-1)^i^+^j\cdot D_i_j

D_i_j  é o determinante da matriz obtida pela eliminação da linha e da coluna do elemento a_i_j.

 

Teorema de Laplace

Como já comentamos, o Teorema de Laplace nos fornece uma outra forma de calcularmos o determinante de uma matriz.

O Teorema de Laplace diz que o determinante de uma matriz quadrada de ordemn (n \geq 2)é obtido pela soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores.

Exemplo de cálculo do determinante tomando-se a primeira coluna da matriz A abaixo

A=[a_1_1 a_1_2 a_1_3 a_2_1 a_2_2 a_2_3 a_3_1 a_3_2 a_3_3 ]\Rightarrow det A =a_1_1\cdot cof(a_1_1)+a_2_1\cdot cof(a_2_1)+a_3_1\cdot cof(a_3_1)\Rightarrow det A =a_1_1\cdot (-1)^1^+^1\cdot |a_2_2 a_2_3 a_3_2 a_3_3 |+a_2_1\cdot (-1)^2^+^1\cdot |a_1_2 a_1_3 a_3_2 a_3_3 | +a_3_1\cdot (-1)^3^+^1\cdot |a_1_2 a_1_3 a_2_2 a_2_3 |

 

Consequência do Teorema de Laplace

Se todos os elementos de uma linha ou coluna forem iguais a zero, então o determinante da matriz necessariamente será zero.

 

 

AULA 3

Teorema de Jacobi

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O Teorema de Jacobi possibilita a simplificação do cálculo de determinantes. O teorema diz que o determinante de uma matriz não se altera quando adiciona-se a uma fila qualquer outra fila paralela a ela,mesmo que multiplicada por um número.

Dado um determinante D de ordemn (n \geq 2),a utilização sucessiva e conveniente do Teorema de Jacobi possibilita obter um determinanteD_1, com uma fila contendo(n - 1)zeros de modo que:

D_1=D

AULA 4

Matriz Inversa Por Determinante

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Conhecidos os conceitos de determinante e cofator, podemos definir uma segunda forma de calcular a matriz inversa de uma matriz A qualquer, enunciada pelo seguinte teorema:

SeM é uma matriz quadrada de ordemn edet M \neq 0, então a inversa deMé

M^-^1=\frac{1}{detM}\cdot \bar{M}

A matriz\bar{M} é chamada de matriz adjunta da matrizM, e é definida como a matriz transposta da matriz dos cofatores deM, que é a matriz obtida substituindo-se cada elemento deM por seu cofator.

 

Roteiro para o cálculo da matriz adjunta

  1. Calcular o cofator de cada elemento da matrizM;

  2. Redesenhar a matrizM com os cofatores no lugar dos elementos;

  3. Transpor esta matriz.

 

Existência da matriz inversa

SejaM uma matriz quadrada de ordemn. A inversa deM existe, se e somente se,det M \neq 0.

Obs: como consequência disto, se o determinante de uma matriz for igual a zero, ela não possui matriz inversa.

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