Resumo de Esferas - Matemática

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AULA 1

Elementos / Secção

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Definição

Esfera é o conjunto de pontos do espaço, cuja distância ao ponto fixo O é menor ou igual ao raior.

Fonte: http://soumaisenem.com.br/sites/default/files/captura_de_tela_2013-08-15_as_15.07.53.png

Superfície esférica é o conjunto de pontos do espaço, cuja distância ao ponto fixo O é exatamente igual ao raior.

 

Elementos

  • Centro: ponto O
  • Raio

  • Polos: pontosP_1eP_2, são os pontos de intersecção da superfície esférica com o eixo

  • Eixo de rotação\overline{P_1P_2}

  • Equador: circunferência correspondente à seção perpendicular ao eixo, pelo centro da esfera

  • Paralelo: circunferência paralela ao equador, pertencente à esfera

  • Meridiano: circunferência que contém o plano do eixo

  • Círculo máximo: círculo delimitado pelo equador

  • Hemisférios: São as metades de uma esfera divididas pelo equador.

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/wp-content/uploads/8172.jpg

Fonte: http://2.bp.blogspot.com/_D0gEf-6KRSc/TChRhmfpzBI/AAAAAAAADII/P0f0KX-qHCA/s1600/20070926klpmatgeo_500.Ges.SCO.png

 

Secção

Qualquer secção na esfera irá formar um círculo.

Seja uma secção paralela ao círculo máximo.

E sejam:

  • R: raio da esfera

  • r:raio da secção

  • d: distância entre a secção e o círculo máximo

Temos que:

R^2=r^2+d^2

Fonte: http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_678/29..jpg

AULA 2

Área e Volume

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Seja:

  • r: raio da esfera

 

Área

A=4\pi r^2

 

Volume

V= \frac{4}{3}\pi r^3

AULA 3

Fuso

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Fuso é a superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência que gera α graus (ou radianos) em torno do eixo.

 

Área do fuso

  • Em graus

A_f=\frac{\alpha\, \pi r^2}{90}

  • Em radianos

A_f=2\alpha\, r^2

Fonte: http://n.i.uol.com.br/licaodecasa/ensmedio/matematica/fuso-esfera.gif

AULA 4

Cunha

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Cunha é um sólido gerado pela rotação de um semicírculo que gira α graus(ou radianos) em torno do eixo.

 

Volume da cunha

  • Em graus

V_c=\frac{ \alpha\, \pi r^3}{270}

  • Em radianos

V_c= \frac{2\alpha\, r^3}{3}

 

Área da cunha

   A_c=\pi r^2+A_f

  • Em graus

Ac=\frac{\pi r^2+\alpha\, \pi r^2}{90}

  • Em radianos

A_c=\pi r^2+2\alpha\, r^2

Fonte: http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_678/32..jpg

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