Esferas - Matemática - Resumos em pdf para download

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Elementos / Secção

Definição

Esfera é o conjunto de pontos do espaço, cuja distância ao ponto fixo O é menor ou igual ao raio $r$ .

Fonte: http://soumaisenem.com.br/sites/default/files/captura_de_tela_2013-08-15_as_15.07.53.png

Superfície esférica é o conjunto de pontos do espaço, cuja distância ao ponto fixo O é exatamente igual ao raio $r$ .

Elementos

Centro: ponto O
Raio
Polos: pontos $P_1$ e $P_2$ , são os pontos de intersecção da superfície esférica com o eixo
Eixo de rotação: $\overline{P_1P_2}$
Equador: circunferência correspondente à seção perpendicular ao eixo, pelo centro da esfera
Paralelo: circunferência paralela ao equador, pertencente à esfera
Meridiano: circunferência que contém o plano do eixo
Círculo máximo: círculo delimitado pelo equador
Hemisférios: São as metades de uma esfera divididas pelo equador.

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/wp-content/uploads/8172.jpg

Fonte: http://2.bp.blogspot.com/_D0gEf-6KRSc/TChRhmfpzBI/AAAAAAAADII/P0f0KX-qHCA/s1600/20070926klpmatgeo_500.Ges.SCO.png

Secção

Qualquer secção na esfera irá formar um círculo.

Seja uma secção paralela ao círculo máximo.

E sejam:

$R$ : raio da esfera
$r$ :raio da secção
$d$ : distância entre a secção e o círculo máximo

Temos que:

$R^2=r^2+d^2$

Fonte: http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_678/29..jpg

Área e Volume

Seja:

$r$ : raio da esfera

Área

$A=4\pi r^2$

Volume

$V= \frac{4}{3}\pi r^3$

Fuso

Fuso é a superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência que gera α graus (ou radianos) em torno do eixo.

Área do fuso

Em graus

$A_f=\frac{\alpha\, \pi r^2}{90}$

Em radianos

$A_f=2\alpha\, r^2$

Fonte: http://n.i.uol.com.br/licaodecasa/ensmedio/matematica/fuso-esfera.gif

Cunha

Cunha é um sólido gerado pela rotação de um semicírculo que gira α graus(ou radianos) em torno do eixo.

Volume da cunha

Em graus

$V_c=\frac{ \alpha\, \pi r^3}{270}$

Em radianos

$V_c= \frac{2\alpha\, r^3}{3}$

Área da cunha

$A_c=\pi r^2+A_f$

Em graus

$Ac=\frac{\pi r^2+\alpha\, \pi r^2}{90}$

Em radianos

$A_c=\pi r^2+2\alpha\, r^2$

Fonte: http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_678/32..jpg

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