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Resumo de Retas - Matemática

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AULA 1

Condição de Alinhamento de Três Pontos

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Três pontosA,B eCestarão alinhados se, e somente se, o determinante da matriz abaixo for igual a0:

D=|x_A y_A 1 x_B y_B 1 x_C y_C 1 |=0

AULA 2

Coeficiente Angular de uma Reta

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Inclinação de uma reta

A inclinação da reta é o ângulo α formado entre o eixoX e ela, medido no sentido anti-horário a partir do eixo X. Se a reta for paralela ao eixoX, consideramos nulo este ângulo.

 

 

 

 

Coeficiente angular

O coeficiente angularm de uma reta é definido como a tangente do ângulo\alpha que a reta forma com o eixox.

m=tg \, \alpha

Obs:

  • Se\alpha =90^o, então a reta não tem coeficiente angular;

  • Duas retas paralelas têm mesma inclinação no plano cartesiano e, consequentemente, têm mesmo coeficiente angular.

 

Coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos

Dados dois pontos distintosA eB de uma reta, podemos calcular o coeficiente angular da mesma como:

m=tg \, \alpha =\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Obs:

  • Esta fórmula é válida desde que  xB\neq xA;

  • Sex_B=x_A, então a reta é vertical. Portanto\alpha =90^oe neste caso o coeficiente angular da reta não existe.

AULA 3

Obtenção da Equação de uma Reta

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Determinação de uma reta

Uma reta fica determinada se forem fornecidos:

  • um ponto e seu ângulo (coeficiente angular), ou

  • dois pontos distintos.

 

Equação de uma reta vertical

Se a reta for paralela ao eixo y, cortando o eixox no pontoA, sua equação será:

x=x_A

 

Equação de uma reta qualquer

Para todas as outras retas, a equação será dada por:

y-y_A=m\cdot (x-x_A)

ondem é o coeficiente angular da reta e(x_A,y_A)são as coordenadas de um ponto qualquer pertencente a ela.

 

Verificação de pertinência

Para verificarmos se um ponto(x_A,y_A) pertence a uma reta de equaçãoax+by+c=0, basta substituirmos suas coordenadas na equação da reta. Se obtivermos uma identidade, o ponto pertence à reta.

 

Formatos de equação de reta

Existem diversas formas de escrever a equação de uma reta, cada uma com sua particularidade. Toda equação de reta pode ser passada para estes formatos, bastando a manipulação algébrica para passá-la para o formato desejado. Os principais são:

  • Equação reduzida;

  • Equação geral;

  • Equação segmentária;

  • Equação paramétrica.

AULA 4

Equação Reduzida da Reta

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A equação reduzida da reta tem formato:

y=mx+n

Obs:

  • m é o coeficiente angular da reta em questão;

  • n é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixoy. É conhecido como coeficiente linear da reta.

  • As retas verticais, ou seja, paralelas ao eixoy não possuem equação reduzida, pois oy não aparece na equação destas retas.

AULA 5

Equação Geral da Reta

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A equação geral da reta tem formato:

ax+by+c=0

 

Equação geral da reta que passa por dois pontos

Uma forma rápida de chegar à equação geral da reta que passa por dois pontos A e B é o seguinte determinante:

|x y 1 x_B y_B 1 x_C y_C 1 |=0

Outra forma possível é encontrar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos, substituí-lo com um dos pontos emy-y_A=m\cdot (x-x_A)e passar todos os termos para o mesmo lado da equação.

AULA 6

Equação Segmentária da Reta

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A equação segmentária da reta tem formato:

\frac{x}{p}=\frac{y}{q}=1

Nesta equação,p é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixox eq é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixoy.

AULA 7

Equação Paramétrica da Reta

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As equações paramétricas de reta fornecem o valor de x e y em função de outra variável t, que é chamada de parâmetro. Portanto, temos:

{x=f1(t) y=f2(t)

Eliminando-se o parâmetro das equações, obtêm-se novamente as equações de reta nos outros formatos conhecidos.

 

AULA 8

Retas Paralelas ou Concorrentes

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Retas paralelas
Duas retas são paralelas se tiverem o coeficientes angulares iguais. Neste caso, podemos ter:

  • Retas paralelas coincidentes: se tiverem coeficientes lineares iguais;
  • Retas paralelas distintas: se tiverem coeficientes lineares diferentes.

 

Retas concorrentes
Já se as retas tiverem coeficientes angulares diferentes, elas serão concorrentes. Neste caso podemos ter:

  • Retas perpendiculares: se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1;
  • Retas não perpendiculares: todos os outros casos.

Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.
O esquema abaixo resume as possíveis posições relativas entre retas:

AULA 9

Retas Perpendiculares

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  • Retas perpendiculares: se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1;
  • Retas não perpendiculares: todos os outros casos.

Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.


 

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