Resumo de Retas - Matemática

Três pontos eestarão alinhados se, e somente se, o determinante da matriz abaixo for igual a:

Inclinação de uma reta

A inclinação da reta é o ângulo α formado entre o eixo e ela, medido no sentido anti-horário a partir do eixo . Se a reta for paralela ao eixo, consideramos nulo este ângulo.

Coeficiente angular

O coeficiente angular de uma reta é definido como a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo.

Obs:

• Se, então a reta não tem coeficiente angular;

• Duas retas paralelas têm mesma inclinação no plano cartesiano e, consequentemente, têm mesmo coeficiente angular.

Coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos

Dados dois pontos distintos e de uma reta, podemos calcular o coeficiente angular da mesma como:

Obs:

• Esta fórmula é válida desde que  ;

• Se, então a reta é vertical. Portantoe neste caso o coeficiente angular da reta não existe.

Determinação de uma reta

Uma reta fica determinada se forem fornecidos:

• um ponto e seu ângulo (coeficiente angular), ou

• dois pontos distintos.

Equação de uma reta vertical

Se a reta for paralela ao eixo y, cortando o eixo no ponto, sua equação será:

Equação de uma reta qualquer

Para todas as outras retas, a equação será dada por:

onde é o coeficiente angular da reta esão as coordenadas de um ponto qualquer pertencente a ela.

Verificação de pertinência

Para verificarmos se um ponto pertence a uma reta de equação, basta substituirmos suas coordenadas na equação da reta. Se obtivermos uma identidade, o ponto pertence à reta.

Formatos de equação de reta

Existem diversas formas de escrever a equação de uma reta, cada uma com sua particularidade. Toda equação de reta pode ser passada para estes formatos, bastando a manipulação algébrica para passá-la para o formato desejado. Os principais são:

• Equação reduzida;

• Equação geral;

• Equação segmentária;

• Equação paramétrica.

A equação reduzida da reta tem formato:

Obs:

•  é o coeficiente angular da reta em questão;

•  é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo. É conhecido como coeficiente linear da reta.

• As retas verticais, ou seja, paralelas ao eixo não possuem equação reduzida, pois o não aparece na equação destas retas.

A equação geral da reta tem formato:

Equação geral da reta que passa por dois pontos

Uma forma rápida de chegar à equação geral da reta que passa por dois pontos A e B é o seguinte determinante:

Outra forma possível é encontrar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos, substituí-lo com um dos pontos eme passar todos os termos para o mesmo lado da equação.

A equação segmentária da reta tem formato:

Nesta equação, é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo e é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo.

As equações paramétricas de reta fornecem o valor de x e y em função de outra variável t, que é chamada de parâmetro. Portanto, temos:

{x=f₁(t) y=f₂(t)

Eliminando-se o parâmetro das equações, obtêm-se novamente as equações de reta nos outros formatos conhecidos.

Retas paralelas
Duas retas são paralelas se tiverem o coeficientes angulares iguais. Neste caso, podemos ter:

• Retas paralelas coincidentes: se tiverem coeficientes lineares iguais;
• Retas paralelas distintas: se tiverem coeficientes lineares diferentes.

Retas concorrentes
Já se as retas tiverem coeficientes angulares diferentes, elas serão concorrentes. Neste caso podemos ter:

• Retas perpendiculares: se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1;
• Retas não perpendiculares: todos os outros casos.

Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.
O esquema abaixo resume as possíveis posições relativas entre retas:

• Retas perpendiculares: se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1;
• Retas não perpendiculares: todos os outros casos.

Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.