AULA 1
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Três pontos e
estarão alinhados se, e somente se, o determinante da matriz abaixo for igual a
:
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Três pontos e
estarão alinhados se, e somente se, o determinante da matriz abaixo for igual a
:
Inclinação de uma reta
A inclinação da reta é o ângulo α formado entre o eixo e ela, medido no sentido anti-horário a partir do eixo
. Se a reta for paralela ao eixo
, consideramos nulo este ângulo.
Coeficiente angular
O coeficiente angular de uma reta é definido como a tangente do ângulo
que a reta forma com o eixo
.
Obs:
Se, então a reta não tem coeficiente angular;
Duas retas paralelas têm mesma inclinação no plano cartesiano e, consequentemente, têm mesmo coeficiente angular.
Coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos
Dados dois pontos distintos e
de uma reta, podemos calcular o coeficiente angular da mesma como:
Obs:
Esta fórmula é válida desde que ;
Se, então a reta é vertical. Portanto
e neste caso o coeficiente angular da reta não existe.
Determinação de uma reta
Uma reta fica determinada se forem fornecidos:
um ponto e seu ângulo (coeficiente angular), ou
dois pontos distintos.
Equação de uma reta vertical
Se a reta for paralela ao eixo y, cortando o eixo no ponto
, sua equação será:
Equação de uma reta qualquer
Para todas as outras retas, a equação será dada por:
onde é o coeficiente angular da reta e
são as coordenadas de um ponto qualquer pertencente a ela.
Verificação de pertinência
Para verificarmos se um ponto pertence a uma reta de equação
, basta substituirmos suas coordenadas na equação da reta. Se obtivermos uma identidade, o ponto pertence à reta.
Formatos de equação de reta
Existem diversas formas de escrever a equação de uma reta, cada uma com sua particularidade. Toda equação de reta pode ser passada para estes formatos, bastando a manipulação algébrica para passá-la para o formato desejado. Os principais são:
Equação reduzida;
Equação geral;
Equação segmentária;
Equação paramétrica.
A equação reduzida da reta tem formato:
Obs:
é o coeficiente angular da reta em questão;
é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo
. É conhecido como coeficiente linear da reta.
As retas verticais, ou seja, paralelas ao eixo não possuem equação reduzida, pois o
não aparece na equação destas retas.
A equação geral da reta tem formato:
Equação geral da reta que passa por dois pontos
Uma forma rápida de chegar à equação geral da reta que passa por dois pontos A e B é o seguinte determinante:
Outra forma possível é encontrar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos, substituí-lo com um dos pontos eme passar todos os termos para o mesmo lado da equação.
A equação segmentária da reta tem formato:
Nesta equação, é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo
e
é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo
.
As equações paramétricas de reta fornecem o valor de x e y em função de outra variável t, que é chamada de parâmetro. Portanto, temos:
{x=f1(t) y=f2(t)
Eliminando-se o parâmetro das equações, obtêm-se novamente as equações de reta nos outros formatos conhecidos.
Retas paralelas
Duas retas são paralelas se tiverem o coeficientes angulares iguais. Neste caso, podemos ter:
Retas concorrentes
Já se as retas tiverem coeficientes angulares diferentes, elas serão concorrentes. Neste caso podemos ter:
Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.
O esquema abaixo resume as possíveis posições relativas entre retas:
Obs: duas retas também são concorrentes se uma tiver coeficiente angular e a outra não. Neste caso, uma reta é paralela ao eixo y e a outra não.
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