Função do 2º Grau - Matemática - Resumos em pdf para download

Definição

Definição

Chamamos função polinomial do 2º grau a função deR\rightarrow Rque tem formato:

f(x)=ax^2+bx+c, com a,b,c\in R e a\neq 0

 

Valor da função em x

Para calcularmos o valor da função para um determinadox_i, ou seja,f(x_i),  substituímosx porx_i na função.

Gráficos - Tabela

Os gráficos de funções do segundo grau são sempre parábolas.

Assim como em toda função, podemos plotar seu gráfico construindo uma tabela de pares(x,y), ou seja, atribuímos valores parax e calculamos seusy correspondentes, que são iguais a f(x).

Gráficos - Coeficientes e Raízes

Existe, porém, uma forma mais eficiente para fazer gráficos de funções do 2º grau. Apenas olhando a função já conseguimos tirar informações importantes sobre seu gráfico.

Os coeficientes da função vão determinar de forma direta o formato da parábola (concavidade pra cima ou pra baixo) e o ponto de intersecção com o eixo y.

 

Coeficiente a

O coeficientea irá determinar se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo.

 

Coeficiente c

O coeficientec vai determinar onde a parábola corta o eixoy, pois parax=0 temosf(x)=c.

 

Raízes

Chamamos de raízes da função ou zeros da função os valores dex para os quaisf(x)=0. Portanto, para encontrarmos as raízes de uma função do 2º grau, simplesmente igualamosf(x) a0 e resolvemos a equação.

No gráfico, as raízes serão os pontos onde a parábola corta o eixox pois, para estes pontos,y=0.

Relembrando das aulas de eq. do 2º grau, as raízes são:

x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

Portanto, se:

  • \Delta >0: duas raízes reais→gráfico corta o eixo xem 2 pontos;

  • \Delta =0: uma raiz real→gráfico corta o eixox em 1 ponto;

  • \Delta <0: nenhuma raiz real→ gráfico NÃO corta o eixo x.

Paraa>0:

Paraa<0:

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de inversão no sentido crescente/decrescente dey. Em outras palavras, o vértice é o ponto de mínimo ou de máximo da função.

As coordenadas do vértice são dadas por:

x_v=\frac{-b}{2a}

y_v=\frac{-\Delta }{4a}

Se a função tem concavidade para cima, dizemos que o vértice é o “ponto de mínimo” da função, ou seja, é o ponto onde ela assume seu menor valor.

Se a função temconcavidade para baixo, dizemos que o vértice é o“ponto de máximo”da função, ou seja, é o ponto onde ela assume seu maior valor.

Determinação da Lei da Função

Para que possamos descobrir a lei de uma função do 2º grau, são necessários 3 pontos distintos da função. Com isso já é possível formar um sistema de equações com seus coeficientes e, resolvendo-o, obter a lei da função.

Domínio e Imagem

Domínio

O domínio das funções do 2º grau é o conjuntoR.

 

Imagem

O conjunto imagem das funções do 2º grau depende dea:

a>0

Im(f)=\left \{ y\in R / y\geq y_v \right \}

a<0

Im(f)=\left \{ y\in R / y\leq y_v \right \}

Estudo dos Sinais

Os sinais das funções do 2º grau são determinados analisando-se o coeficientea e o\Delta.

a>0


a<0

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