Resumo de Funções Algébricas do 2º Grau - Matemática

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AULA 1

Definição

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Definição

Chamamos função polinomial do 2º grau a função de $R\rightarrow R$ que tem formato:

$f(x)=ax^2+bx+c,$ com $a,b,c\in R$ e $a\neq 0$

Valor da função em $x$

Para calcularmos o valor da função para um determinado $x_i$ , ou seja, $f(x_i)$ , substituímos $x$ por $x_i$ na função.

AULA 2

Gráficos - Tabela

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Os gráficos de funções do segundo grau são sempre parábolas.

Assim como em toda função, podemos plotar seu gráfico construindo uma tabela de pares $(x,y)$ , ou seja, atribuímos valores para $x$ e calculamos seus $y$ correspondentes, que são iguais a $f(x)$ .

AULA 3

Gráficos - Coeficientes e Raízes

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Existe, porém, uma forma mais eficiente para fazer gráficos de funções do 2º grau. Apenas olhando a função já conseguimos tirar informações importantes sobre seu gráfico.

Os coeficientes da função vão determinar de forma direta o formato da parábola (concavidade pra cima ou pra baixo) e o ponto de intersecção com o eixo y.

Coeficiente $a$

O coeficiente $a$ irá determinar se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo.

Coeficiente $c$

O coeficiente $c$ vai determinar onde a parábola corta o eixo $y$ , pois para $x=0$ temos $f(x)=c$ .

Raízes

Chamamos de raízes da função ou zeros da função os valores de $x$ para os quais $f(x)=0$ . Portanto, para encontrarmos as raízes de uma função do 2º grau, simplesmente igualamos $f(x)$ a $0$ e resolvemos a equação.

No gráfico, as raízes serão os pontos onde a parábola corta o eixo $x$ pois, para estes pontos, $y=0$ .

Relembrando das aulas de eq. do 2º grau, as raízes são:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Portanto, se:

$\Delta >0$ : duas raízes reais→gráfico corta o eixo $x$ em 2 pontos;
$\Delta =0$ : uma raiz real→gráfico corta o eixo $x$ em 1 ponto;
$\Delta <0$ : nenhuma raiz real→ gráfico NÃO corta o eixo $x$ .

Para $a>0$ :

Para $a<0$ :

AULA 4

Vértice da Parábola

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O vértice da parábola é o ponto de inversão no sentido crescente/decrescente de $y$ . Em outras palavras, o vértice é o ponto de mínimo ou de máximo da função.

As coordenadas do vértice são dadas por:

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$y_v=\frac{-\Delta }{4a}$

Se a função tem concavidade para cima, dizemos que o vértice é o “ponto de mínimo” da função, ou seja, é o ponto onde ela assume seu menor valor.

Se a função temconcavidade para baixo, dizemos que o vértice é o“ponto de máximo”da função, ou seja, é o ponto onde ela assume seu maior valor.

AULA 5

Determinação da Lei da Função

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Para que possamos descobrir a lei de uma função do 2º grau, são necessários 3 pontos distintos da função. Com isso já é possível formar um sistema de equações com seus coeficientes e, resolvendo-o, obter a lei da função.