Relação binária

É uma relação entre elementos de dois conjuntos.

Pode ser representada por um diagrama de flechas:

Notação de relação: se a relação “” sai de e vai para, a notação é

Função

Funções são casos específicos de relações. Isto é, uma função é uma relação com algumas particularidades.

Notação de função:

Nesta notação: são elementos dee são elementos de.

Domínio de uma função

O domínio é o conjunto dos elementos que originam a relação binária. São os valores possíveis ou permitidos de “” da função.

Contra-domínio de uma função

O contra-domínio é o conjunto dos elementos que podem receber as relações binárias. São os valores possíveis ou permitidos de “” da função.

Imagem de uma função

A imagem é o conjunto dos elementos que efetivamente recebem as relações binárias. São os valores que “recebem flechas” no diagrama de flechas.

A imagem será necessariamente um destes dois casos:

• igual ao contra-domínio: quando todos os elementos do contra-domínio receberem valores da relação binária; ou

• um subconjunto do contra-domínio: quando há elementos do contra-domínio que não recebem valores da relação binária.

Representados em um exemplo de diagrama de flechas, Domínio, Contra-domínio e Imagem seriam:

Condições para que uma relação seja função:

• Não há elementos sobrando no Domínio;

• Cada elemento do Domínio liga-se a apenas UM elemento do Contra-Domínio. Em outras palavras: sai apenas uma flecha de cada elemento do Domínio.

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Raiz

Raiz de uma função é todo valor de para o qual.

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função é uma plotagem dos pares ordenados, com, em um Plano Cartesiano.

Método da tabela: se tivermos a lei da função, para esboçar o gráfico podemos escolher valores arbitrários de, calcular os valores de correspondentes, e plotar estes valores em um Plano Cartesiano.

No gráfico de uma função, as raízes serão todos os valores de em que o gráfico corta o eixo:

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O Domínio de uma função pode ou não estar explicitado na definição da função.

Se o Domínio da função não estiver explicitado, considera-se como Domínio o conjunto dos Reais, excluindo-se os valores para os quais a função não existe.

Casos em que há exclusão de elementos:

• Quando há no denominador de uma fração: excluem-se os valores de para os quais o denominador resulta em 0;

• Quando há dentro de uma raiz: excluem-se os valores depara os quais o radicando seja menor que 0.

Função crescente

Definição formal:   é crescente se, com  tem-se.

Interpretação:uma função é crescente se, ao aumentarmos aumenta.

Função decrescente

Definição formal: é decrescente se, com tem-se.

Interpretação:uma função é crescente se, ao aumentarmosdiminui.

Função constante

Definição formal:é constante se, comtem-se.

Interpretação: uma função é constante se, ao aumentarmos se mantém constante.

Função par:, tal que,  .
Graficamente: simétrica em relação ao eixo.

Função ímpar:, tal que,  
Graficamente:simétrica em relação à origem.

Atenção:dizemos que uma função não é par nem ímpar quando não atende a nenhuma destas condições.

Função injetora

Definição:, tem-se: se

Interpretação:nenhum valor de recebe mais do que um valor de.

Dica no gráfico:traçar uma reta horizontal. Se cortar o gráfico da função em mais do que um ponto, não é injetora.

Função sobrejetora

Definição:

Interpretação: não pode sobrar nenhum elemento no Contra-Domínio.

Função bijetora

Definição: uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo.

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Definição: Dada uma funçãobijetora, sua inversa será .

Atenção: para que uma função admita inversa, ela precisa necessariamente ser bijetora.

Dica para calcular a inversa:trocar por e tentar isolar.

Dica para obter o gráfico da inversa: dado o gráfico de uma função bijetora, podemos determinar o gráfico de sua inversa espelhando o gráfico sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares. Em outras palavras: basta inverter os eixose.

Definição: considere as funções e . A função composta de em é a função  , sendo.

Dica para obter a função composta:para obter a lei da função, composta de em, basta substituir a lei deno lugar de em. Isto é, basta calcular.

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