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Resumo teórico

Gráficos e Funções

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AULA 1

Conceitos Básicos

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Relação binária

É uma relação entre elementos de dois conjuntos.

Pode ser representada por um diagrama de flechas:

Notação de relação: se a relação “R” sai deA e vai paraB, a notação éR: A x B

 

Função

Funções são casos específicos de relações. Isto é, uma função é uma relação com algumas particularidades.

Notação de função:

f:A\rightarrow B

y=f(x)

Nesta notação:x são elementos deAey são elementos deB.

 

Domínio de uma função

O domínio é o conjunto dos elementos que originam a relação binária. São os valores possíveis ou permitidos de “x” da função.

 

Contra-domínio de uma função

O contra-domínio é o conjunto dos elementos que podem receber as relações binárias. São os valores possíveis ou permitidos de “y” da função.

 

Imagem de uma função

A imagem é o conjunto dos elementos que efetivamente recebem as relações binárias. São os valores que “recebem flechas” no diagrama de flechas.

A imagem será necessariamente um destes dois casos:

  • igual ao contra-domínio: quando todos os elementos do contra-domínio receberem valores da relação binária; ou

  • um subconjunto do contra-domínio: quando há elementos do contra-domínio que não recebem valores da relação binária.

Representados em um exemplo de diagrama de flechas, Domínio, Contra-domínio e Imagem seriam:

Condições para que uma relação seja função:

  • Não há elementos sobrando no Domínio;

  • Cada elemento do Domínio liga-se a apenas UM elemento do Contra-Domínio. Em outras palavras: sai apenas uma flecha de cada elemento do Domínio.

AULA 2

Conceitos Básicos - Exercícios

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AULA 3

Raiz e Gráfico de uma Função

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Raiz

Raiz de uma função é todo valor dex para o qualf(x)=0.

 

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função é uma plotagem dos pares ordenados\left ( x,y \right ), comy=f(x), em um Plano Cartesiano.

Método da tabela: se tivermos a lei da função, para esboçar o gráfico podemos escolher valores arbitrários dex, calcular os valores dey correspondentes, e plotar estes valores em um Plano Cartesiano.

No gráfico de uma função, as raízes serão todos os valores dex em que o gráfico corta o eixox:

AULA 4

Raiz e Gráfico de uma Função - Exercícios

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AULA 5

Domínio de uma Função Real

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O Domínio de uma função pode ou não estar explicitado na definição da função.

Se o Domínio da função não estiver explicitado, considera-se como Domínio o conjunto dos Reais, excluindo-se os valores para os quais a função não existe.

Casos em que há exclusão de elementos:

  • Quando háx no denominador de uma fração: excluem-se os valores dex para os quais o denominador resulta em 0;

  • Quando háx dentro de uma raiz: excluem-se os valores dexpara os quais o radicando seja menor que 0.

AULA 6

Função Crescente/Decrescente/Constante

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Função crescente

Definição formal:  y=f(x) é crescente se\forall x_1,x_2\in D(f), comx_1<x_2  tem-sef(x_1)<f(x_2).

Interpretação:uma função é crescente se, ao aumentarmosx,y aumenta.

 

Função decrescente

Definição formal:y=f(x) é decrescente se\forall x_1,x_2\in D(f), comx_1<x_2 tem-sef(x_1)>f(x_2).

Interpretação:uma função é crescente se, ao aumentarmosx,ydiminui.

 

Função constante

Definição formal:y=f(x)é constante se\forall x_1,x_2\in D(f), comx_1<x_2tem-sef(x_1)=f(x_2).

Interpretação: uma função é constante se, ao aumentarmosx,y se mantém constante.

AULA 7

Função Par/Ímpar

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Função par:f(x), tal quef(x)=f(-x),  \forall x\in D(f).
Graficamente: simétrica em relação ao eixoy.

Função ímpar:f(x), tal quef(x)=-f(-x),  \forall x\in D(f)

Graficamente:simétrica em relação à origem.

Atenção:dizemos que uma função não é par nem ímpar quando não atende a nenhuma destas condições.

AULA 8

Função Injetora, Bijetora e Sobrejetora

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Função injetora

Definição:\forall x_1, x_2\in D(f), tem-se: sex_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).

Interpretação:nenhum valor dey recebe mais do que um valor dex.

Dica no gráfico:traçar uma reta horizontal. Se cortar o gráfico da função em mais do que um ponto, não é injetora.

 

Função sobrejetora

Definição:Im(f)=CD(f)

Interpretação: não pode sobrar nenhum elemento no Contra-Domínio.

 

Função bijetora

Definição: uma funçãof é bijetora se ela é injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo.

AULA 9

Função Injetora, Bijetora e Sobrejetora - Exercícios

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AULA 10

Função Inversa

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Definição: Dada uma funçãof:A\rightarrow Bbijetora, sua inversa será f^-^1:B\rightarrow A.

Atenção: para que uma funçãof admita inversa, ela precisa necessariamente ser bijetora.

Dica para calcular a inversa:trocarx pory e tentar isolarx=f(y).

AULA 11

Função Inversa - Gráficos

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Dica para obter o gráfico da inversa: dado o gráfico de uma função bijetoraf, podemos determinar o gráfico de sua inversa espelhando o gráfico sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares. Em outras palavras: basta inverter os eixosxey.

AULA 12

Função Composta

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Definição: considere as funçõesf:A\rightarrow B e g:B\rightarrow C. A função composta deg emf é a função  g o f:A\rightarrow C, sendo(g o f)(x)=g[f(x)].

Dica para obter a função composta:para obter a lei da funçãoh, composta deg emf, basta substituir a lei def(x)no lugar de xemg(x). Isto é, basta calcularg(f(x)).

AULA 13

Função Composta - Exercícios

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