Resumo de Matemática Financeira - Matemática

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AULA 1

Lucro / Prejuízo

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O lucro é a diferença entre o preço de vendaV e o preço de custoC.

L = V - C

Quando a diferença entreV eC é um número negativo dizemos que houve um prejuízo.

  • Lucro em relação ao custo:

L(\%)=\frac{L}{C}

  • Lucro em relação a venda:

L(\%)=\frac{L}{V}

AULA 2

Aumento / Desconto

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Aumento

Quando um valor inicialV_i recebe um aumento de p% esse valor inicial passa a valerV_f.

V_f=\left ( 1+\frac{p}{100} \right )\cdot V_i

Chamamos\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) de fator multiplicativo, a partir dele temos condições para determinar o valor final após o aumento sem fazer uso da quantidade incrementada.

Observe que o fator multiplicativo para o aumento é um número maior que 1.

 

Desconto

Quando o valor inicial Vi recebe umdesconto de p% esse valor inicial passa a valerV_f. Nesse caso, o valor inicial passa a ser:

V_f=\left ( 1-\frac{p}{100} \right )\cdot V_i

O fator multiplicativo para o desconto é\left ( 1-\frac{p}{100} \right ). Observe que o fator multiplicativo para o desconto é um número entre 0 e 1.

AULA 3

Aumentos e descontos sucessivos

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Um valor inicial pode sofrer aumentos sucessivos de diferentes valores, aumentos e descontos simultâneos ou descontos sucessivos. Quando isso ocorre o valor final após as variações pode ser escrito como:

V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )V_i

Aqui o valor inicial recebeu dois aumentos sucessivos, o primeiro de p1% e o segundo de p2%. É importante destacar que após o primeiro aumento, o segundo é calculado a partir do valor atual, ou seja, do valor aumentado, e não em relação ao primeiro valorV_i.

De modo geral o valor final é dado por:

V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1+\frac{p_n}{100} \right )V_i

Observação: A multiplicação de todos os fatores multiplicativos indica o aumento acumulado após os sucessivos aumentos.

Nas situações envolvendo descontos sucessivos, temos:

V_f=\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )V_i

A multiplicação dos fatores multiplicativos\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )indica o desconto acumulado após os sucessivos descontos.

De maneira geral o valor final após os sucessivos descontos é dado por:

V_f=\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1-\frac{p_n}{100} \right )V_i

É bastante comum aparecer situações com aumentos e descontos sucessivos, nesse caso o valor final será indicado por:

V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )V_i

Onde o primeiro fator\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right ) representa o aumento e\left ( 1-\frac{p_2}{100} \right ), o desconto.

Observação: A multiplicação dos fatores multiplicativos indica se no final houve um aumento ou desconto no acumulado. Se o fator resultante for um número maior que 1, houve um amento, se for um número entre 0 e 1, desconto.

AULA 4

Juros simples

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Chamamos de juros o valor obtido referente a um empréstimo de dinheiro por um determinado tempo. Existem dois tipos de juros, o simples e o composto.

  • Nos juros simples a porcentagem calculada ou o aumento percentual é calculado sempre em relação ao valor inicial, independente do período estimado.

  • No composto a porcentagem é calculada em relação ao último valor, ou seja, em relação ao valor atual.

Os juros simples são calculados pela seguinte fórmula:

J=\frac{C\cdot i\cdot t}{100}

ondeC representa o capital,i a taxa et o tempo.

Observação: O tempo e a taxa devem estar no mesmo prazo para o cálculo dos juros. Por exemplo, se a taxa i estiver ao mês, o tempo também deverá estar ao mês.

A soma entre o capitalC e os juros do período representa o montanteM.

M = C + J

AULA 5

Juros compostos

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Nos juros compostos o incremento será calculado em relação ao montante do período anterior.

M =\left ( 1+i \right )^t\cdot C,

ondeM representa o montante,i a taxa,t o tempo eC o capital.

Observação 1: O montante representa o valor final de aumentos sucessivos, logo, há uma correspondência entre a fórmula do montante e os aumentos sucessivos.

V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1+\frac{p_n}{100} \right )V_i

M=\left ( 1+i \right )\cdot \left ( 1+i \right )\cdot \left ( 1+i \right )...\left ( 1+i \right )\cdot C

Repare que  M = V_fe\left ( 1+\frac{p}{100} \right )=\left ( 1+i \right )

Os juros serão determinados da mesma forma que nos juros simples:

M=C+J \Rightarrow J=M-C

Observação 2: A taxai e o tempo devem estar na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se oi estiver ao ano, o tempo também deverá estar ao ano.

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