Resumo de Matemática Financeira - Matemática

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AULA 0

Lucro / Prejuízo

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O lucro é a diferença entre o preço de venda $V$ e o preço de custo $C$ .

$L = V - C$

Quando a diferença entre $V$ e $C$ é um número negativo dizemos que houve um prejuízo.

Lucro em relação ao custo:

$L(\%)=\frac{L}{C}$

Lucro em relação a venda:

$L(\%)=\frac{L}{V}$

AULA 1

Aumento / Desconto

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Aumento

Quando um valor inicial $V_i$ recebe um aumento de p% esse valor inicial passa a valer $V_f$ .

$V_f=\left ( 1+\frac{p}{100} \right )\cdot V_i$

Chamamos $\left ( 1+\frac{p}{100} \right )$ de fator multiplicativo, a partir dele temos condições para determinar o valor final após o aumento sem fazer uso da quantidade incrementada.

Observe que o fator multiplicativo para o aumento é um número maior que 1.

Desconto

Quando o valor inicial Vi recebe umdesconto de p% esse valor inicial passa a valer $V_f$ . Nesse caso, o valor inicial passa a ser:

$V_f=\left ( 1-\frac{p}{100} \right )\cdot V_i$

O fator multiplicativo para o desconto é $\left ( 1-\frac{p}{100} \right )$ . Observe que o fator multiplicativo para o desconto é um número entre 0 e 1.

AULA 2

Aumentos e descontos sucessivos

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Um valor inicial pode sofrer aumentos sucessivos de diferentes valores, aumentos e descontos simultâneos ou descontos sucessivos. Quando isso ocorre o valor final após as variações pode ser escrito como:

$V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )V_i$

Aqui o valor inicial recebeu dois aumentos sucessivos, o primeiro de p1% e o segundo de p2%. É importante destacar que após o primeiro aumento, o segundo é calculado a partir do valor atual, ou seja, do valor aumentado, e não em relação ao primeiro valor $V_i$ .

De modo geral o valor final é dado por:

$V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1+\frac{p_n}{100} \right )V_i$

Observação: A multiplicação de todos os fatores multiplicativos indica o aumento acumulado após os sucessivos aumentos.

Nas situações envolvendo descontos sucessivos, temos:

$V_f=\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )V_i$

A multiplicação dos fatores multiplicativos $\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )$ indica o desconto acumulado após os sucessivos descontos.

De maneira geral o valor final após os sucessivos descontos é dado por:

$V_f=\left ( 1-\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1-\frac{p_n}{100} \right )V_i$

É bastante comum aparecer situações com aumentos e descontos sucessivos, nesse caso o valor final será indicado por:

$V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )V_i$

Onde o primeiro fator $\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )$ representa o aumento e $\left ( 1-\frac{p_2}{100} \right )$ , o desconto.

Observação: A multiplicação dos fatores multiplicativos indica se no final houve um aumento ou desconto no acumulado. Se o fator resultante for um número maior que 1, houve um amento, se for um número entre 0 e 1, desconto.

AULA 3

Juros simples

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Chamamos de juros o valor obtido referente a um empréstimo de dinheiro por um determinado tempo. Existem dois tipos de juros, o simples e o composto.

Nos juros simples a porcentagem calculada ou o aumento percentual é calculado sempre em relação ao valor inicial, independente do período estimado.
No composto a porcentagem é calculada em relação ao último valor, ou seja, em relação ao valor atual.

Os juros simples são calculados pela seguinte fórmula:

$J=\frac{C\cdot i\cdot t}{100}$

onde $C$ representa o capital, $i$ a taxa e $t$ o tempo.

Observação: O tempo e a taxa devem estar no mesmo prazo para o cálculo dos juros. Por exemplo, se a taxa i estiver ao mês, o tempo também deverá estar ao mês.

A soma entre o capital $C$ e os juros do período representa o montante $M$ .

$M = C + J$

AULA 4

Juros compostos

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Nos juros compostos o incremento será calculado em relação ao montante do período anterior.

$M =\left ( 1+i \right )^t\cdot C$ ,

onde $M$ representa o montante, $i$ a taxa, $t$ o tempo e $C$ o capital.

Observação 1: O montante representa o valor final de aumentos sucessivos, logo, há uma correspondência entre a fórmula do montante e os aumentos sucessivos.

$V_f=\left ( 1+\frac{p_1}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_2}{100} \right )\cdot \left ( 1+\frac{p_3}{100} \right )...\left ( 1+\frac{p_n}{100} \right )V_i$

$M=\left ( 1+i \right )\cdot \left ( 1+i \right )\cdot \left ( 1+i \right )...\left ( 1+i \right )\cdot C$

Repare que $M = V_f$ e $\left ( 1+\frac{p}{100} \right )=\left ( 1+i \right )$

Os juros serão determinados da mesma forma que nos juros simples:

$M=C+J \Rightarrow J=M-C$

Observação 2: A taxa $i$ e o tempo devem estar na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se o $i$ estiver ao ano, o tempo também deverá estar ao ano.