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Resumo de Matrizes - Matemática

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AULA 1

Definição e Representação

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Definição
Matrizes são tabelas de números. Se uma matriz tem m linhas e n colunas, dizemos que ela é uma matriz de ordem mx n ou simplesmente é uma matriz m x n (lê-se m porn).

Elementos de uma matriz
Os números que compõe a matriz são chamados de elementos e são denotados por aij onde i é o número da linha onde o elemento se encontra e j é o número da coluna onde o elemento se encontra.

Representação
As matrizes podem ser representadas:
Explicitamente: na forma de tabelas entre parênteses ou colchetes. Ex:

Implicitamente: com uma lei que determina cada elemento aij em função de i e/ou j. Ex:

AULA 2

Tipos de Matrizes

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Matriz linha
É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem ordem 1×n.

Matriz coluna
É a matriz que possui uma única coluna, ou seja, tem ordem n×1.

Matriz quadrada
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, ou seja, tem ordem n×n. Podemos dizer que a matriz é “quadrada de ordem n”.
Nas matrizes quadradas definimos:
Diagonal principal: elementos para os quaisi = j;
Diagonal secundária: elementos para os quaisi + j = n + 1.

Matriz identidade
São as matrizes quadradas onde a diagonal principal é composta por elementos de valor 1 e todos os outros elementos são 0. Chamamos estas matrizes deIn.

Matriz nula
São as matrizes com todos elementos iguais a 0.

 

AULA 3

Matriz Transposta

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Dada uma matriz A de ordem m×n, chamamos deAt a matriz transposta deA.
As linhas de A serão as colunas de At, na ordem original, ou seja, a primeira linha de A será a primeira coluna de At, a segunda linha deAserá a segunda coluna de At e assim por diante.

AULA 4

Igualdade de Matrizes

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Duas matrizes serão iguais se tiverem a mesma ordem e se seus elementos de mesma posição forem iguais.
 

AULA 5

Adição de Matrizes

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Indica-se a soma de matrizes A e B resultando na matriz C por:
C=A+B
Para que possamos somar duas matrizes A e B, elas devem ser de mesma ordem. A matriz C, resultado da soma, é uma matriz de mesma ordem de A e B, obtida somando-se os elementos de mesma posição em A e B:
cij=aij+bij
Por exemplo, o elemento c13 será obtido pela soma de a13 com b13:

Propriedades
Assim como a soma de números, a soma de matrizes apresenta algumas propriedades importantes:

  • Comutativa: A+B=B+A
  • Associativa: A+B+C=(A+B)+C
  • Elemento oposto:A+(-A)=0
  • Elemento neutro: A+0=A

Além destas propriedades, é importante salientar que a transposta da soma é igual à soma das transpostas:
(A+B)t=At+Bt

 

AULA 6

Subtração de Matrizes

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Indica-se a subtração de matrizes A e B resultando na matriz C por:
C=A-B
Analogamente à soma, para que a subtração de matrizes possa ser realizada, elas devem ser de mesma ordem. A matriz C, resultado da subtração, é uma matriz de mesma ordem de A e B, obtida subtraindo-se os elementos de mesma posição emA e B:

cij=aij-bij
Por exemplo, o elemento c13 será obtido pela subtração de a13 com b13

AULA 7

Multiplicação de um Número por uma Matriz

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Indica-se o produto de um número real k por uma matriz A por:
B=k.A
A matrizBresultante é obtida pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número k:
bij=k.aij


Propriedades
A multiplicação de número por matriz apresenta algumas propriedades importantes:

  • a.(b.A)=(a.b).A
  • a.(A+B)=a.A+a.B
  • (a+b).A=a.A+b.A
  • 1.A=A
  • (a.A)t=a.At

 

AULA 8

Multiplicação de Matrizes

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A multiplicação de matrizes não segue uma lógica intuitiva como a soma e a subtração. Na soma e subtração, realizávamos a soma ou subtração de elementos equivalentes das duas matrizes para encontrar o resultado da operação. Já na multiplicação de matrizes, realizaremos operações com LINHAS e COLUNAS para encontrarmos o resultado. Indicaremos o produto de duas matrizes AeB por:
C=A.B

Como decorrência da definição, o produto de duas matrizes A e B só vai existir se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Além disso, a matriz C resultante sempre terá o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B:


E, para encontrarmos o elemento cij realizaremos a soma dos produtos dos elementos da linhai da matriz Apelos elementos da colunaj da matriz B. Veja no exemplo abaixo:

C=[a b c d][ x y w z] =[a.x+b.w ]  
C=[a b c d][ x y w z] = [a.y+b.z ]
C=[a b c d][ x y w z] =  [c.x+d.w ]
C=[a b c d][ x y w z] =   [c.y+d.z]

 

AULA 9

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

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A multiplicação de matrizes apresenta algumas propriedades importantes:
Associativa: (A.B).C=A.(B.C)
Distributiva pela direita: (A+B).C=A.C+B.C
Distributiva pela esquerda: C.(A+B)=C.A+C.B


Se k for um número real, podemos dizer que este número “pode transitar” dentro do produto das matrizes:


(k.A).B=A.(k.B)=k.(A.B)

Além destas propriedades, temos a propriedade do transposta do produto:
(A.B)t=Bt.At
A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Seja A uma matriz m×n, então:
A.In=Im.A=A

Observações importantes
A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, não necessariamente A.B=B.A! De fato,A.B normalmente é diferente de B.A. Além disso, pode existir A.B e nem existir B.A.
Se A.B=0, não podemos deduzir queA=0 ou B=0. Em matrizes, há diversos casos de matrizes diferentes da matriz nula que, quando multiplicadas, resultam na matriz nula.

 

 

AULA 10

Equações Matriciais

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Dada uma equação com uma matriz incógnitaX, podemos utilizar todas as propriedades vistas até o momento para resolvê-la. A ideia será a mesma de uma resolução de equações com números reais.  A única condição para que possamos utilizar estas propriedades é que a matriz Xnão esteja multiplicada por outra matriz na equação.
Outra forma possível de resolver a equação matricial é preencher a matriz X com incógnitas, realizar o produto e igualar as matrizes resultantes, chegando a um sistema de equações. Resolvendo o sistema, encontramos as incógnitas e, consequentemente, a matriz X.
 

AULA 11

Matriz Inversa

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A matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n é a matriz denotada por A-1 que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade de ordemn.
A.A-1=A-1.A=In

Obs: a matriz inversa é única e é importante observar que o produto de uma matriz por sua inversa pode ser feito pela direita ou pela esquerda e o resultado será o mesmo em ambos os casos.
Aplicação
As matrizes inversas tem aplicação prática na resolução de sistemas lineares.
Obtenção
Podemos obter a matriz inversa de duas formas:

  • Substituir seus elementos por incógnitas, realizar o produto e igualar as matrizes resultantes. Resulta disso um sistema de equações que, quando resolvido, nos fornece a matriz inversa procurada.
  • Utilizar o conceito de determinante de uma matriz (tema das próximas aulas) para a obtenção da matriz inversa.
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