Resumo de Matrizes - Matemática

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AULA 1

Definição e Representação

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Definição

Matrizes são tabelas de números. Se uma matriz temm linhas en colunas, dizemos que ela é uma matriz de ordemm x n ou simplesmente é uma matrizm\times n (lê-se m por n).

 

Elementos de uma matriz

Os números que compõe a matriz são chamados de elementos e são denotados pora_i_j ondei é o número da linha onde o elemento se encontra ej é o número da coluna onde o elemento se encontra.

 

Representação

As matrizes podem ser representadas:

  • Explicitamente: na forma de tabelas entre parênteses ou colchetes.

Ex: A=[2334]

 

  • Implicitamente: com uma lei que determina cada elementoa_i_j em função dei e/ouj.

Ex: A=[a_i_j]_2_X_2tal quea_i_j=i+j

AULA 2

Tipos de Matrizes

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Matriz linha

É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem ordem1\times n.

 

Matriz coluna

É a matriz que possui uma única coluna, ou seja, tem ordemn\times 1.

 

Matriz quadrada

É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, ou seja, tem ordemn\times n. Podemos dizer que a matriz é “quadrada de ordemn”.

Nas matrizes quadradas definimos:

  • Diagonal principal: elementos para os quaisi=j;

  • Diagonal secundária: elementos para os quaisi + j = n + 1.

 

Matriz identidade

São asmatrizes quadradas onde a diagonal principal é composta por elementos de valor1 e todos os outros elementos são0. Chamamos estas matrizes deI_n.

 

Matriz nula

São as matrizes com todos elementos iguais a0.

AULA 3

Matriz Transposta

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Dada uma matrizA de ordemm x n, chamamos deA^t a matriz transposta deA.

As linhas deA serão as colunas deA^t, na ordem original, ou seja, a primeira linha deA será a primeira coluna deA^t, a segunda linha deA será a segunda coluna deA^t e assim por diante.

AULA 4

Igualdade de Matrizes

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Duas matrizes serão iguais se tiverem a mesma ordem e se seus elementos de mesma posição forem iguais.

AULA 5

Adição de Matrizes

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Indica-se a soma de matrizes A e B resultando na matriz C por:

C=A+B

Para que possamos somar duas matrizesA eB, elas devem ser de mesma ordem. A matrizC, resultado da soma, é uma matriz de mesma ordem deA eB, obtida somando-se os elementos de mesma posição emA eB:

c_i_j=a_i_j+b_i_j

Por exemplo, o elementoc_1_3 será obtido pela soma dea_1_3 comb_1_3:

c_1_3=a_1_3+b_1_3

 

Propriedades

Assim como a soma de números, a soma de matrizes apresenta algumas propriedades importantes:

  • Comutativa:A+B=B+A

  • Associativa:A+(B+C)=(A+B)+C

  • Elemento oposto:A+(-A)=0

  • Elemento neutro:A+0=A

Além destas propriedades, é importante salientar que atransposta da soma é igual à soma das transpostas:

(A+B)^t=A^t+B^t

AULA 6

Subtração de Matrizes

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Indica-se a subtração de matrizesA eB resultando na matrizC por:

C=A-B

Analogamente à soma, para que a subtração de matrizes possa ser realizada, elas devem ser de mesma ordem. A matrizC, resultado da subtração, é uma matriz de mesma ordem deA eB, obtida subtraindo-se os elementos de mesma posição emA eB:

c_i_j=a_i_j-b_i_j

Por exemplo, o elementoc_1_3será obtido pela subtração dea_1_3comb_1_3:

 

AULA 7

Multiplicação de um Número por uma Matriz

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Indica-se o produto de um número realk por uma matrizA por:

B=k\cdot A

A matrizB resultante é obtida pela multiplicação de cada elemento da matrizA por esse número k:

b_i_j=k\cdot a_i_j

 

Propriedades

A multiplicação de número por matriz apresenta algumas propriedades importantes:

  • a\cdot (b\cdot A)=(a\cdot b)\cdot A;

  • a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B;

  • (a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A;

  • 1\cdot A=A;

  • (a\cdot A)^t=a\cdot A^t.

AULA 8

Multiplicação de Matrizes

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A multiplicação de matrizes não segue uma lógica intuitiva como a soma e a subtração. Na soma e subtração, realizávamos a soma ou subtração de elementos equivalentes das duas matrizes para encontrar o resultado da operação. Já na multiplicação de matrizes, realizaremos operações com LINHAS e COLUNAS para encontrarmos o resultado. Indicaremos o produto de duas matrizesA eB por:

C=A\cdot B

Como decorrência da definição, o produto de duas matrizesA eB só vai existir se o número de colunas da matrizA  for igual ao número de linhas da matrizB.

A_{m\times p}\cdot B_{p\times n}=C_{m\times n}
                |_____|

Além disso, a matrizC resultante sempre terá o mesmo número de linhas deA e o número de colunas deB:

                               | ^{\overline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }}|
A_{m\times p}\cdot B_{p\times n}=C_{m\times n}
|_____________________|

E, para encontrarmos o elementoc_i_j realizaremos a soma dos produtos dos elementos da linhai da matrizA pelos elementos da colunaj da matrizB. Veja no exemplo abaixo:

 

 

AULA 9

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

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A multiplicação de matrizes apresenta algumas propriedades importantes:

  • Associativa:(A.B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)

  • Distributiva pela direita:(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C

  • Distributiva pela esquerda:C\cdot (A+B)=C\cdot A+C\cdot B

 

Se k for um número real, podemos dizer que este número “pode transitar” dentro do produto das matrizes:

(k\cdot A)\cdot B=A\cdot (k\cdot B)=k\cdot (A\cdot B)

Além destas propriedades, temos a propriedade do transposta do produto:

(A.B)^t=B^t.A^t

A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Seja A uma matriz m×n, então:

A\cdot I_n=I_m\cdot A=A

 

Observações importantes

  1. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, não necessariamenteA\cdot B=B\cdot A! De fato,A\cdot Bnormalmente é diferente deB\cdot A. Além disso, pode existirA\cdot B e nem existir B\cdot A.

SeA\cdot B=0, não podemos deduzir queA=0ouB=0. Em matrizes, há diversos casos de matrizes diferentes da matriz nula que, quando multiplicadas, resultam na matriz nula.

 

AULA 10

Equações Matriciais

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Dada uma equação com uma matriz incógnitaX, podemos utilizar todas as propriedades vistas até o momento para resolvê-la. A ideia será a mesma de uma resolução de equações com números reais.  A única condição para que possamos utilizar estas propriedades é que a matrizX não esteja multiplicada por outra matriz na equação.

Outra forma possível de resolver a equação matricial é preencher a matrizX com incógnitas, realizar o produto e igualar as matrizes resultantes, chegando a um sistema de equações. Resolvendo o sistema, encontramos as incógnitas e, consequentemente, a matrizX.

AULA 11

Matriz Inversa

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A matriz inversa de uma matriz quadradaA de ordem n é a matriz denotada porA^-^1 que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade de ordemn.

A\cdot A^-^1=A^-^1\cdot A=I_n

Obs: a matriz inversa é única e é importante observar que o produto de uma matriz por sua inversa pode ser feito pela direita ou pela esquerda e o resultado será o mesmo em ambos os casos.

 

Aplicação

As matrizes inversas tem aplicação prática na resolução de sistemas lineares.

 

Obtenção

Podemos obter a matriz inversa de duas formas:

  • Substituir seus elementos por incógnitas, realizar o produto e igualar as matrizes resultantes. Resulta disso um sistema de equações que, quando resolvido, nos fornece a matriz inversa procurada.

  • Utilizar o conceito de determinante de uma matriz (tema das próximas aulas) para a obtenção da matriz inversa.

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