Resumo de Números Complexos - Matemática

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Função Exponencial

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AULA 1

Introdução

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Definição

O conjunto dos números complexos, $C$ , é o conjunto dos pares ordenados $(x,y)$ de números reais, para os quais estão definidas, de forma específica, algumas operações.

Usualmente, representa-se por $z$ o número complexo $(x,y), \left \{x,y \right \}\subset R$ .

Dado um número complexo $z=(x,y)$ , dizemos que:

$x$ : parte real de $z$ . Indicamos por $Re(z)=x$ .
$y$ : parte imaginária de $z$ . Indicamos por $Im(z)=y$ .

Unidade imaginária

O número $(0,1)$ é chamado de unidade imaginária e é representado por $i$ .

$(0,1)=i$

Pela definição de números complexos, tem-se:

$i^2=-1\Rightarrow i=\sqrt{-1}$

Números reais

Os números reais são os números complexos cuja parte imaginária é zero, ou seja, são os números no formato:

$(x,0)=x$

Números imaginários

Os imaginários puros são os números complexos cuja parte real é zero, ou seja, são os números no formato:

$(0,y)=y\cdot i$

Forma algébrica

Os números complexos podem ser representados como:

$z=(x,y)=x+y\cdot i$

Esta forma é conhecida como forma algébrica do número complexo.

AULA 2

Igualdade entre Números Complexos

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Dois números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$ são iguais se:

$z_1=z_2\Leftrightarrow a=c$ e $b=d$

Regra prática: parte real igual a parte real e parte imaginária igual a parte imaginária.

AULA 3

Potências de i

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Sendo $n\in N$ , temos:

$i^{4n}=i^0=1$

$i^{4n+1}=i^1=i$

$i^{4n+2}=i^2=-1$

$i^{4n+3}=i^3=-i$

Regra prática: a potência $i^k$ será igual a $i^r$ onde $r$ é o resto da divisão de $k$ por 4.

AULA 4

Adição e Subtração de Números Complexos

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Soma de números complexos

Para somarmos números complexos, somamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i$

Subtração de números complexos

Para subtrairmos números complexos, subtraímos parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária:

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i$

AULA 5

Multiplicação de Números Complexos

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Produto de números complexos

Para multiplicarmos números complexos, realizamos a distributiva normalmente e reagrupamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária nos resultados, lembrando que $i^2=-1$ :

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2$

$ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i$

Obs: Para a multiplicação de números complexos valem as propriedades:

Comutativa: $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$
Distributiva: $z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3$ e $(z_1+z_2)\cdot z_3=z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3$

AULA 6

Conjugado de um Número Complexo

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O conjugado de um número complexo $z=a+bi$ é o mesmo número complexo, porém com o sinal invertido na parte imaginária:

$\overline{z}=a-bi$

Propriedades dos conjugados

O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:

$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

O conjugado da diferença é igual à diferença dos conjugados:

$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:

$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$

O produto de um número complexo por seu conjugado é um número real não negativo:

$z_1\cdot\overline{ z_1}=(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2+b^2$

A soma de um complexo com seu conjugado é igual a duas vezes sua parte real:

$z_1+\overline{z_1}=2a$

A diferença de um complexo com seu conjugado é igual a duas vezes sua parte imaginária:

$z1-\overline{z1}=2bi$

AULA 7

Divisão de um Número Complexo

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A divisão de dois números complexos pode ser efetuada representando-se a divisão como uma fração e então multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Com isso, o denominador torna-se um número real e o resultado da divisão é obtido:

$\frac{a+bi}{c+di}\, \cdot \: \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac-adi+bci-dbi^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{(ac+db)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\Rightarrow \frac{a+bi}{c+di}=$ $\frac{ac+db}{c^2+d^2}+\left (\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right )\cdot i$

AULA 8

Representação Geométrica

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Plano de Argand-Gauss

A representação geométrica de um número complexo é feita em um plano semelhante ao plano cartesiano, denominado Plano de Argand-Gauss. Neste plano:

o eixo horizontal representa a parte REAL dos números complexos;
o eixo vertical representa a parte IMAGINÁRIA dos números complexos;
chamamos de AFIXO o ponto que representa um número complexo no plano.

Definimos ainda:

Módulo de um número complexo:distância do afixo até a origem do plano;
Argumento de um número complexo: ângulo formado entre o eixo horizontal e o segmento que liga a origem ao afixo, medido no sentido anti-horário.

Para um número complexo z=a+bi teremos:

Módulo de um número complexo

O valor do módulo $\varrho$ do número complexo z=a+bi pode ser calculado com auxílio do Teorema de Pitágoras, e resulta em:

$|z|=\varrho =\sqrt{a^2+b^2}$

Obs:

Como o módulo é calculado a partir da soma de dois quadrados, ele será sempre um número maior ou igual a 0.

Argumento de um número complexo

O valor do argumento $\theta$ do número complexo z=a+bi pode ser calculado com auxílio de relações trigonométricas e resulta em:

$sen\; \theta =\frac{b}{\varrho }$

$cos\; \theta =\frac{a}{\varrho }$

Obs:

O argumento será sempre um ângulo tal que $0\leq \theta <2\pi \; rad$ .

AULA 9

Forma Trigonométrica

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Já vimos que:

$cos\; \theta =\frac{a}{\varrho }$
$sen\; \theta =\frac{b}{\varrho }$

Portanto, temos que:\

$a=\varrho \cdot cos\; \theta$

$b=\varrho \cdot sen\; \theta$

E, como $z=a+bi$ , temos:

$z=a+bi\Rightarrow z=\varrho \cdot cos\; \theta +\varrho \cdot sen\; \theta \cdot i$

Colocando $\varrho$ em evidência, chegamos à forma trigonométrica de um número complexo:

$z=\varrho \cdot (cos\; \; \theta +i\cdot sen\; \theta )$

AULA 10

Multiplicação na Forma Trigonométrica

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Dados dois números complexos não nulos $z_1$ e $z_2$ tais que $z_1=\varrho _1\cdot (cos\; \theta_ 1+i\cdot sen\; \theta _1)$ e $z_2=\varrho _2\cdot (cos\; \theta_ 2+i\cdot sen \; \theta_ 2)$ , então o produto de $z_1$ e $z_2$ pode ser facilmente calculado como:

$z_1\cdot z_2=\varrho _1\cdot \varrho _2\cdot [cos (\theta _1+\theta 2)+i\cdot sen (\theta _1+\theta _2)]$

AULA 11

Potenciação na Forma Trigonométrica

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Como consequência do produto no formato trigonométrico, podemos inferir que ao elevarmos um número complexo $z=\varrho \cdot (cos \; \theta +i\cdot sen\; \theta )$ ao expoente natural $n$ , o resultado será dado por:

$z^n=\varrho ^n\cdot [cos (n\cdot \theta )+i\cdot sen (n\cdot \theta )]$

AULA 12

Divisão na Forma Trigonométrica

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Dados dois números complexos não nulos $z_1$ e $z_2$ tais que $z_1=\varrho _1\cdot (cos \; \theta_ 1+i\cdot sen\; \theta _1)$ e $z_2=\varrho _2\cdot (cos \; \theta_ 2+i\cdot sen\; \theta _2)$ , então o quociente de $z_1$ e $z_2$ pode ser facilmente calculado como:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\varrho _1}{\varrho _2}\cdot [cos (\theta _1-\theta _2) +i\cdot sen(\theta _1-\theta_ 2)]$

AULA 13

Raiz Quadrada de Números Complexos

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Um forma de encontrar a raiz quadrada de um número complexo é utilizar um procedimento bastante comum na manipulação das equações, elevar ambos os membros da igualdade ao quadrado. É possível que numa segunda passagem seja necessário utilizar a resolução de um sistema, após isso testar as possibilidades.
Obs: Essa ideia para encontrar a raiz quadrada é interessante quando o número complexo é negativo ou imaginário puro.

AULA 14

Raiz n-ésima de Números Complexos

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Seja um número complexo z = .(cos+sen)escrito na sua forma trigonométrica, a raiz n-ésima de z é dado por

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AULA 1

Introdução

AULA 2

Igualdade entre Números Complexos

AULA 3

Potências de i

AULA 4

Adição e Subtração de Números Complexos

AULA 5

Multiplicação de Números Complexos

AULA 6

Conjugado de um Número Complexo

AULA 7

Divisão de um Número Complexo

AULA 8

Representação Geométrica

AULA 9

Forma Trigonométrica

AULA 10

Multiplicação na Forma Trigonométrica

AULA 11

Potenciação na Forma Trigonométrica

AULA 12

Divisão na Forma Trigonométrica

AULA 13

Raiz Quadrada de Números Complexos

AULA 14

Raiz n-ésima de Números Complexos