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Resumo de Números Complexos - Matemática

Quer estudar Números Complexos? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Introdução

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Definição

O conjunto dos números complexos,C, é o conjunto dos pares ordenados(x,y) de números reais, para os quais estão definidas, de forma específica, algumas operações.

Usualmente, representa-se porz o número complexo(x,y), \left \{x,y \right \}\subset R.

Dado um número complexoz=(x,y), dizemos que:

  • x: parte real dez. Indicamos porRe(z)=x.

  • y: parte imaginária dez. Indicamos porIm(z)=y.

 

Unidade imaginária

O número(0,1)é chamado de unidade imaginária e é representado pori.

(0,1)=i

Pela definição de números complexos, tem-se:

i^2=-1\Rightarrow i=\sqrt{-1}

 

Números reais

Os números reais são os números complexos cuja parte imaginária é zero, ou seja, são os números no formato:

(x,0)=x

 

Números imaginários

Os imaginários puros são os números complexos cuja parte real é zero, ou seja, são os números no formato:

(0,y)=y\cdot i

 

Forma algébrica

Os números complexos podem ser representados como:

z=(x,y)=x+y\cdot i

Esta forma é conhecida como forma algébrica do número complexo.

AULA 2

Igualdade entre Números Complexos

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Dois números complexosz_1=a+bi ez_2=c+di são iguais se:

z_1=z_2\Leftrightarrow a=ceb=d

Regra prática: parte real igual a parte real e parte imaginária igual a parte imaginária.

AULA 3

Potências de i

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Sendon\in N, temos:

i^{4n}=i^0=1

i^{4n+1}=i^1=i

i^{4n+2}=i^2=-1

i^{4n+3}=i^3=-i

Regra prática: a potênciai^k será igual ai^r onder é o resto da divisão dek por 4.

AULA 4

Adição e Subtração de Números Complexos

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Soma de números complexos

Para somarmos números complexos, somamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i

 

Subtração de números complexos

Para subtrairmos números complexos, subtraímos parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária:

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i

AULA 5

Multiplicação de Números Complexos

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Produto de números complexos

Para multiplicarmos números complexos, realizamos a distributiva normalmente e reagrupamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária nos resultados, lembrando quei^2=-1:

(a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2

ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i

Obs: Para a multiplicação de números complexos valem as propriedades:

  • Comutativa:z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1

  • Distributiva:z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3 e (z_1+z_2)\cdot z_3=z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3

AULA 6

Conjugado de um Número Complexo

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O conjugado de um número complexoz=a+bié o mesmo número complexo, porém com o sinal invertido na parte imaginária:

\overline{z}=a-bi

 

Propriedades dos conjugados

  • O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:

\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}

  • O conjugado da diferença é igual à diferença dos conjugados:

\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}

  • O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:

\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}

  • O produto de um número complexo por seu conjugado é um número real não negativo:

z_1\cdot\overline{ z_1}=(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2+b^2

  • A soma de um complexo com seu conjugado é igual a duas vezes sua parte real:

z_1+\overline{z_1}=2a

  • A diferença de um complexo com seu conjugado é igual a duas vezes sua parte imaginária:

z1-\overline{z1}=2bi

AULA 7

Divisão de um Número Complexo

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A divisão de dois números complexos pode ser efetuada representando-se a divisão como uma fração e então multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Com isso, o denominador torna-se um número real e o resultado da divisão é obtido:

\frac{a+bi}{c+di}\, \cdot \: \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac-adi+bci-dbi^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{(ac+db)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\Rightarrow \frac{a+bi}{c+di}= \frac{ac+db}{c^2+d^2}+\left (\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right )\cdot i

AULA 8

Representação Geométrica

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Plano de Argand-Gauss

A representação geométrica de um número complexo é feita em um plano semelhante ao plano cartesiano, denominado Plano de Argand-Gauss. Neste plano:

  • o eixo horizontal representa a parte REAL dos números complexos;

  • o eixo vertical representa a parte IMAGINÁRIA dos números complexos;

  • chamamos de AFIXO o ponto que representa um número complexo no plano.

Definimos ainda:

  • Módulo de um número complexo:distância do afixo até a origem do plano;

  • Argumento de um número complexo: ângulo formado entre o eixo horizontal e o segmento que liga a origem ao afixo, medido no sentido anti-horário.

Para um número complexoz=a+biteremos:

 

Módulo de um número complexo

O valor do módulo\varrho do número complexoz=a+bi pode ser calculado com auxílio do Teorema de Pitágoras, e resulta em:

|z|=\varrho =\sqrt{a^2+b^2}

Obs:

  • Como o módulo é calculado a partir da soma de dois quadrados, ele será sempre um número maior ou igual a 0.

 

Argumento de um número complexo

O valor do argumento\theta do número complexoz=a+bipode ser calculado com auxílio de relações trigonométricas e resulta em:

sen\; \theta =\frac{b}{\varrho }

 

cos\; \theta =\frac{a}{\varrho }

Obs:

  • O argumento será sempre um ângulo tal que0\leq \theta <2\pi \; rad.

AULA 9

Forma Trigonométrica

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Já vimos que:

cos\; \theta =\frac{a}{\varrho }
sen\; \theta =\frac{b}{\varrho }

Portanto, temos que:\

a=\varrho \cdot cos\; \theta

b=\varrho \cdot sen\; \theta

E, comoz=a+bi, temos:

z=a+bi\Rightarrow z=\varrho \cdot cos\; \theta +\varrho \cdot sen\; \theta \cdot i

Colocando\varrhoem evidência, chegamos à forma trigonométrica de um número complexo:

z=\varrho \cdot (cos\; \; \theta +i\cdot sen\; \theta )

AULA 10

Multiplicação na Forma Trigonométrica

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Dados dois números complexos não nulosz_1ez_2tais quez_1=\varrho _1\cdot (cos\; \theta_ 1+i\cdot sen\; \theta _1)ez_2=\varrho _2\cdot (cos\; \theta_ 2+i\cdot sen \; \theta_ 2), então o produto dez_1ez_2pode ser facilmente calculado como:

z_1\cdot z_2=\varrho _1\cdot \varrho _2\cdot [cos (\theta _1+\theta 2)+i\cdot sen (\theta _1+\theta _2)]

AULA 11

Potenciação na Forma Trigonométrica

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Como consequência do produto no formato trigonométrico, podemos inferir que ao elevarmos um número complexoz=\varrho \cdot (cos \; \theta +i\cdot sen\; \theta ) ao expoente naturaln, o resultado será dado por:

z^n=\varrho ^n\cdot [cos (n\cdot \theta )+i\cdot sen (n\cdot \theta )]

AULA 12

Divisão na Forma Trigonométrica

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Dados dois números complexos não nulosz_1 ez_2 tais quez_1=\varrho _1\cdot (cos \; \theta_ 1+i\cdot sen\; \theta _1)ez_2=\varrho _2\cdot (cos \; \theta_ 2+i\cdot sen\; \theta _2), então o quociente dez_1 ez_2 pode ser facilmente calculado como:

\frac{z_1}{z_2}=\frac{\varrho _1}{\varrho _2}\cdot [cos (\theta _1-\theta _2) +i\cdot sen(\theta _1-\theta_ 2)]

AULA 13

Raiz Quadrada de Números Complexos

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Um forma de encontrar a raiz quadrada de um número complexo é utilizar um  procedimento bastante comum na manipulação das equações, elevar ambos os membros da igualdade ao quadrado. É possível que numa segunda passagem seja necessário utilizar a resolução de um sistema, após isso testar as possibilidades.
Obs: Essa ideia para encontrar a raiz quadrada é interessante quando o número complexo é negativo ou imaginário puro.

AULA 14

Raiz n-ésima de Números Complexos

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Seja um número complexo z = .(cos+sen)escrito na sua forma trigonométrica, a raiz n-ésima de z é dado por

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