Resumo de P.A. e P.G. - Progressão Geométrica - Matemática

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AULA 1

P.G. - Definição

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Definição

As P.G.s (Progressões Geométricas) são sequências nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado multiplicado por uma constanteq. Chamamos esta constante de razão da P.G.

a_n=q\cdot a_n_-_1

Como consequência da definição, para encontrarmos a razãoq de uma P.G., basta calcularmos a razão entre um termo e seu antecessor:

q=\frac{a_k}{a_k-1}

Para que possamos construir a P.G., basta termos um termo qualquer da P.G. e sua razão, pois, a partir disso, é possível descobrirmos todos seus outros termos.

 

AULA 2

P.G. - Classificação

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As PGs podem ser classificadas em cinco categorias: crescentes, constantes, decrescentes, alternantes ou estacionárias.

 

Crescente

Uma P.G. é crescente quando seus termos aumentam. Isto acontece quando:

  • a_1>0  e  q>1   (Ex: 1, 2, 4, 8,...)
  • Qualquera_1  e  q=1   (Ex: 5,5,5,5,...)

 

Constante

Uma P.G. é constante quando seus termos são todos iguais (Ex: 3, 3, 3, 3, ...). Isto acontece quando:

  • a_1=0 e qualquerq (Ex: 0,0,0,0,...)

  • Qualquera_1 eq=1 (Ex: 5,5,5,5,...)

 

Decrescente

Uma P.G. é crescente quando seus termos diminuem. Isto acontece quando:

  • a_1>0  e  0<q<1(Ex: 8,4,2,1,...)

  • a_1<0  e  q>1(Ex: -2,-4,-8,-16,...)

 

Alternantes

Uma P.G. é alternante quando os sinais de seus termos se alternam. Isto acontece quando:

  • Qualquera_1  e  q<0 (Ex: 1,-2, 4, -8, ...)

 

Estacionárias

Uma P.G. é estacionária quando a1≠0 e todos os outros termos são 0. Isto acontece quando:

  • a_1\neq 0 eq=0(Ex: 2,0,0,0,...)

AULA 3

P.G. - Termo Geral de uma P.G.

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Dada uma P.G. de termoa_1e razãoq, podemos calcular o valor do termon da P.G. através da fórmula do termo geral:

a_n=a_1\cdot q^n^-^1

AULA 4

P.G. - Representação Prática

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Em alguns tipos de problemas, é útil representar uma P.G. com a seguinte notação:

Para 3 termos

\left ( \frac{x}{q}, x ,x\cdot q \right )

 

Para  5 termos

\left ( \frac{x}{q^2}, \frac{x}{q} ,x, x\cdot q,x\cdot q^2 \right )

 

Para 4 termos

\left ( \frac{x}{a^3}, \frac{x}{a} ,x\cdot a,x\cdot a^3 \right )

 

Onde: q=a^2

AULA 5

P.G. - Produtos de Termos Equidistantes

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Produto de termos equidistantes dos extremos

O produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.G. finita é igual ao produto dos extremos.

a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_n_-_1=a_3\cdot a_n_-_2=...

 

Termos consecutivos

Considerando-se três termos consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média geométrica dos outros dois.

|a_k|=\sqrt{a_k_-_1\cdot a_k_+_1}

AULA 6

P.G. - Soma dos N Termos de uma P.G.

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Se a razão q de uma P.G. for1, a P.G. será constante. Neste caso, a soma dosn termos da P.G. pode ser calculada por:

S_n=n\cdot a_1

Já no caso de uma P.G. comq\neq 1, a soma dosn termos pode ser calculada por:

S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}

AULA 7

P.G. - Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

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Seja uma P.G. infinita com-1<q<1. A soma dos infinitos termos da P.G. pode ser calculada por:

S_n=\frac{a_1}{1-q}

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