Resumo de P.A. e P.G. - Progressão Geométrica - Matemática

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AULA 1

P.G. - Definição

Definição

As P.G.s (Progressões Geométricas) são sequências nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado multiplicado por uma constante $q$ . Chamamos esta constante de razão da P.G.

$a_n=q\cdot a_n_-_1$

Como consequência da definição, para encontrarmos a razão $q$ de uma P.G., basta calcularmos a razão entre um termo e seu antecessor:

$q=\frac{a_k}{a_k-1}$

Para que possamos construir a P.G., basta termos um termo qualquer da P.G. e sua razão, pois, a partir disso, é possível descobrirmos todos seus outros termos.

AULA 2

P.G. - Classificação

As PGs podem ser classificadas em cinco categorias: crescentes, constantes, decrescentes, alternantes ou estacionárias.

Crescente

Uma P.G. é crescente quando seus termos aumentam. Isto acontece quando:

$a_1>0$ e $q>1$ (Ex: 1, 2, 4, 8,...)
Qualquer $a_1$ e $q=1$ (Ex: 5,5,5,5,...)

Constante

Uma P.G. é constante quando seus termos são todos iguais (Ex: 3, 3, 3, 3, ...). Isto acontece quando:

$a_1=0$ e qualquer $q$ (Ex: 0,0,0,0,...)
Qualquer $a_1$ e $q=1$ (Ex: 5,5,5,5,...)

Decrescente

Uma P.G. é crescente quando seus termos diminuem. Isto acontece quando:

$a_1>0$ e $0<q<1$ (Ex: 8,4,2,1,...)
$a_1<0$ e $q>1$ (Ex: -2,-4,-8,-16,...)

Alternantes

Uma P.G. é alternante quando os sinais de seus termos se alternam. Isto acontece quando:

Qualquer $a_1$ e $q<0$ (Ex: 1,-2, 4, -8, ...)

Estacionárias

Uma P.G. é estacionária quando a1≠0 e todos os outros termos são 0. Isto acontece quando:

$a_1\neq 0$ e $q=0$ (Ex: 2,0,0,0,...)

AULA 3

P.G. - Termo Geral de uma P.G.

Dada uma P.G. de termo a_1 e razão, podemos calcular o valor do termo da P.G. através da fórmula do termo geral:

a_n=a₁.q^n-1

AULA 4

P.G. - Representação Prática

Em alguns tipos de problemas, é útil representar uma P.G. com a seguinte notação:

Para 3 termos

$\left ( \frac{x}{q}, x ,x\cdot q \right )$

Para 5 termos

$\left ( \frac{x}{q^2}, \frac{x}{q} ,x, x\cdot q,x\cdot q^2 \right )$

Para 4 termos

$\left ( \frac{x}{a^3}, \frac{x}{a} ,x\cdot a,x\cdot a^3 \right )$

Onde: $q=a^2$

AULA 5

P.G. - Produtos de Termos Equidistantes

Produto de termos equidistantes dos extremos

O produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.G. finita é igual ao produto dos extremos.

a₁.a_n=a₂.a_n-1=a₃.a_n-2=…

Termos consecutivos

Considerando-se três termos consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média geométrica dos outros dois.

$|a_k|=\sqrt{a_k_-_1\cdot a_k_+_1}$

AULA 6

P.G. - Soma dos N Termos de uma P.G.

Se a razão q de uma P.G. for $1$ , a P.G. será constante. Neste caso, a soma dos $n$ termos da P.G. pode ser calculada por:

$S_n=n\cdot a_1$

Já no caso de uma P.G. com $q\neq 1$ , a soma dos $n$ termos pode ser calculada por:

$S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$

AULA 7

P.G. - Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Seja uma P.G. infinita com $-1<q<1$ . A soma dos infinitos termos da P.G. pode ser calculada por:

$S_n=\frac{a_1}{1-q}$

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