P.A. e P.G. - Progressão Aritmética - Matemática - Resumos em pdf para download

Sequências

Definição

Sequência é um conjunto de elementos considerados numa ordem específica.

Representação

$(a_1, a_2, a_3, ..., a_n_-_1, a_n)$

As sequências podem ser:

Finitas: possuem um número finito de termos;
Infinitas: possuem infinitos termos.

Lei de Formação

Possibilidades:

Definir primeiro termo e uma relação entre um termo e seu anterior.

Ex: $a_1=5$ e $a_n=a_n_-_1+2$

Expressão de cada termo em função de sua posição $n$ .

Ex: $a_n=2n-4$

Por uma simples definição.

Ex: Sequência dos pares positivos.

P.A. - Definição e Classificação

Definição

As P.A.s (Progressões Aritméticas) são sequências nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado de uma constante. Chamamos esta constante de razão da P.A.

$a_k=a_k_-_1+r$

Como consequência da definição, para encontrarmos a razão $r$ de uma P.A., basta calcularmos a diferença entre um termo e seu antecessor:

$r=a_k-a_k_-_1$

Para que possamos construir a P.A., basta termos um termo qualquer da P.A. e sua razão, pois, a partir disso, é possível descobrirmos todos seus outros termos.

Classificação das P.A.s

Crescente: uma P.A. é crescente quando a razão $r$ for positiva;
Constante: uma P.A. é constante quando a razão $r$ for $0$ ;
Decrescente: uma P.A. é decrescente quando a razão $r$ for negativa.

P.A. - Termo Geral

Dada uma P.A. de termo $a_1$ e razão $r$ , podemos calcular o valor do termo $n$ da P.A. através da fórmula dotermo geral:

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

P.A. - Representação Prática

Em alguns tipos de problemas, é útil representar uma P.A. com a seguinte notação:

Para 3 termos

$(x-r, x, x+r)$

Para 5 termos

$(x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)$

Para 4 termos

$(x-3a,x-a, x+a, x+3a)$

Onde: $a=\frac{r}{2}$

P.A. - Interpolação Aritmética

Em uma sequência $(a_1, a_2, a_3, ..., a_n_-_1, a_n)$ , chamamos os termos $a_1$ e $a_n$ de extremos e os demais de meios.

Interpolar $k$ meios aritméticos entre $x$ e $y$ significa descrever uma P.A. onde:

o primeiro termo é $x$ ;
o último termo é $y$ ;

temos $k+2$ termos no total, pois, como queremos k meios, teremos os k termos do meio mais o termo inicial e final, totalizando $k+2$ termos. Portanto, podemos dizer que o $y$ será o termo $a_k_+_2$ .

P.A. - Soma de Termos Equidistantes

Soma de termos equidistantes dos extremos

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.

$a_1+a_n=a_2+a_n_-_1=a_3+a_n_-_2=...$

Termos consecutivos

Considerando-se três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

$a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$

P.A. - Soma dos N Termos de uma P.A.

A soma dos n termos de uma P.A. pode ser calculada por:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$