Resumo de P.A. e P.G. - Progressão Aritmética - Matemática

Definição

Sequência é um conjunto de elementos considerados numa ordem específica.

Representação

(a₁, a₂, a₃,....,^an - 1, ^an)

As sequências podem ser:

• Finitas: possuem um número finito de termos;

• Infinitas: possuem infinitos termos.

Lei de Formação

Possibilidades:

• Definir primeiro termo e uma relação entre um termo e seu anterior.

Ex: ^a1 = 5 e ^an - 1 + 2

• Expressão de cada termo em função de sua posição n.

Ex: ^an= 2n - 4

• Por uma simples definição.

Ex: Sequência dos pares positivos.

Definição

As P.A.s (Progressões Aritméticas) são sequências nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado de uma constante. Chamamos esta constante de razão da P.A.

^ak = ^ak - 1 + r

Como consequência da definição, para encontrarmos a razão r de uma P.A., basta calcularmos a diferença entre um termo e seu antecessor:

r = ^ak - ^ak - 1

Para que possamos construir a P.A., basta termos um termo qualquer da P.A. e sua razão, pois, a partir disso, é possível descobrirmos todos seus outros termos.

Classificação das P.A.s

• Crescente: uma P.A. é crescente quando a razãor for positiva;

• Constante: uma P.A. é constante quando a razão r for 0;

• Decrescente: uma P.A. é decrescente quando a razãorfor negativa.

Dada uma P.A. de termo^a1 e razão r, podemos calcular o valor do termo nda P.A. através da fórmula dotermo geral:

^an = ^a1 + (n - 1) . r

Em alguns tipos de problemas, é útil representar uma P.A. com a seguinte notação:

Para 3 termos

( x - r, x, x + r)

Para 5 termos

( x - 2_r, x - r, x, x + r, x + 2_r)

Para 4 termos

( x - 3_a, x - a, x + a, x + 3_a)

Onde:

Em uma sequência (^a1, ^a2, ^a3,...., ^an - 1, ^an) , chamamos os termos ^a1 e^an  de extremos e os demais de meios.

Interpolark meios aritméticos entre x e y significa descrever uma P.A. onde:

• o primeiro termo é x;

• o último termo éy;

temos k + 2 termos no total, pois, como queremosk meios, teremos osk termos do meio mais o termo inicial e final, totalizando k + 2 termos. Portanto, podemos dizer que o y será o termo ^ak + 2.

Soma de termos equidistantes dos extremos

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.

^a1 + ^an = ^a2 + ^an - 1 = ^a3 + ^an - 2  = ...

Termos consecutivos

Considerando-se três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

A soma dos n termos de uma P.A. pode ser calculada por: