P.A. e P.G. - Progressão Aritmética - Matemática - Resumos em pdf para download

Sequências

Definição

Sequência é um conjunto de elementos considerados numa ordem específica.

 

Representação

(a_1, a_2, a_3, ..., a_n_-_1, a_n)

As sequências podem ser:

  • Finitas: possuem um número finito de termos;

  • Infinitas: possuem infinitos termos.

 

Lei de Formação

Possibilidades:

  • Definir primeiro termo e uma relação entre um termo e seu anterior.

Ex:a_1=5 e a_n=a_n_-_1+2

  • Expressão de cada termo em função de sua posiçãon.

Ex:a_n=2n-4

  • Por uma simples definição.

Ex: Sequência dos pares positivos.

P.A. - Definição e Classificação

Definição

As P.A.s (Progressões Aritméticas) são sequências nas quais cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado de uma constante. Chamamos esta constante de razão da P.A.

a_k=a_k_-_1+r

Como consequência da definição, para encontrarmos a razãor de uma P.A., basta calcularmos a diferença entre um termo e seu antecessor:

r=a_k-a_k_-_1

Para que possamos construir a P.A., basta termos um termo qualquer da P.A. e sua razão, pois, a partir disso, é possível descobrirmos todos seus outros termos.

 

Classificação das P.A.s

  • Crescente: uma P.A. é crescente quando a razãor for positiva;

  • Constante: uma P.A. é constante quando a razãor for0;

  • Decrescente: uma P.A. é decrescente quando a razãor for negativa.

P.A. - Termo Geral

Dada uma P.A. de termoa_1 e razãor, podemos calcular o valor do termon da P.A. através da fórmula dotermo geral:

a_n=a_1+(n-1)\cdot r

P.A. - Representação Prática

Em alguns tipos de problemas, é útil representar uma P.A. com a seguinte notação:

 

Para 3 termos

(x-r, x, x+r)

 

Para 5 termos

(x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

 

Para 4 termos

(x-3a,x-a, x+a, x+3a)

 

Onde:a=\frac{r}{2}

P.A. - Interpolação Aritmética

Em uma sequência(a_1, a_2, a_3, ..., a_n_-_1, a_n), chamamos os termosa_1a_nde extremos e os demais de meios.

Interpolark meios aritméticos entrex ey significa descrever uma P.A. onde:

  • o primeiro termo éx;

  • o último termo éy;

temosk+2 termos no total, pois, como queremos k meios, teremos os k termos do meio mais o termo inicial e final, totalizandok+2 termos. Portanto, podemos dizer que oy será o termoa_k_+_2.

 

P.A. - Soma de Termos Equidistantes

Soma de termos equidistantes dos extremos

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.

a_1+a_n=a_2+a_n_-_1=a_3+a_n_-_2=...

 

Termos consecutivos

Considerando-se três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}

P.A. - Soma dos N Termos de uma P.A.

A soma dos n termos de uma P.A. pode ser calculada por:

S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}

 

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