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Resumo de Poliedros - Matemática

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AULA 1

Elementos

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Superfície poliédrica convexa

Reunião de “n” polígonos convexos tais que:

  • n\geq 4

  • Dois polígonos quaisquer estão contidos em planos distintos.

  • Cada aresta de um polígono é comum a dois (e somente dois) polígonos.

  • O plano de cada polígono deixa todos os outros em um só dos semiespaços determinados por ele.

 

Poliedro convexo

Intersecção dos semiespaços determinados pelos polígonos.

Elementos dos poliedros

  • Faces:são os polígonos;

  • Arestas:são os lados dos polígonos;

  • Vértices:são os vértices dos polígonos;

  • Ângulos das faces:são os ângulos dos polígonos.

 

Nomenclatura

Conforme o número de faces.

Número de FacesNome do poliedro
4Tetraedro
5Pentaedro
6Hexaedro
7Heptaedro
8Octaedro
9Eneaedro
10Decaedro
12Dodecaedro
20Icosaedro

AULA 2

Relação de Euler

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Considerando um poliedro convexo.

Sejam:

  • V: número de vértices

  • F: número de faces

  • A: número de arestas

  • n: número de lados de cada face

Temos que:

V + F = A + 2

e

A=\frac{F\cdot n}{2}

AULA 3

Soma dos Ângulos das Faces

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Considerando um poliedro convexo, temos que a soma dos ângulos das suas faces é:

S = (V-2)\cdot 360^o

AULA 4

Poliedros de Platão / Poliedros Regulares

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Os poliedros de Platão são os que correspondem às seguintes características:

  • V+F=A+2(convexo)

  • Todas as faces têm o mesmo número de arestas\left ( x \right ).

  • Cada vértice é extremidade do mesmo número de arestas\left ( y \right ).

Existem apenas cinco poliedros de Platão:

  • Tetraedro

  • Hexaedro

  • Octaedro

  • Dodecaedro

  • Icosaedro

 XYVFA
Tetraedro33446
Hexaedro438612
Octaedro346812
Dodecaedro53201230
Icosaedro35122030

 

Poliedros regulares

  • Suas faces são polígonos são regulares;

  • Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si.

Existem apenas cinco poliedros regulares:

  • Tetraedro

  • Hexaedro

  • Octaedro

  • Dodecaedro

  • Icosaedro

Atenção: Todo poliedro regular é de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.

Exemplo:

O paralelepípedo é um poliedro de Platão, mas como a face é um retângulo (não é equilátero) então não é um poliedro regular.