Resumo de Polinômios - Matemática

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AULA 1

Introdução

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Denominamos polinômio na variávelx e indicamos porP(x)as expressões do tipo:

a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n

Obs:

  • Chamamosa_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}ea_nde coeficientes do polinômio;

  • Chamamosa_0x^n, a_1x^{n-1}, ..., a_{n-1}xea_nde termos do polinômio;

  • Em especial, chamamos an de termo independente, pois ele é independente dex;

  • A variávelx é um número complexo, ou seja, x\in C.

 

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é indicado porgr(P) e é igual ao maior expoente da variávelxcom coeficiente não-nulo.

 

Valor numérico de um polinômio

Obter o valor numérico de um polinômioP(x)parax=ksignifica calcular o valor do polinômio quando substituímosx pork. Isto é indicado por P(k).

 

Raiz de um polinômio

Dizemos que um valork é raiz do polinômio quandoP(k)=0, ou seja, é o valor que quando substituído no lugar doxtorna o polinômio igual a 0.

AULA 2

Identidade de Polinômios

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Dois polinômios são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.

 

Polinômio identicamente nulo

Um polinômio é identicamente nulo se, se somente se, todos os seus coeficientes forem nulos. Para polinômio nulo não se define grau.

AULA 3

Adição e Subtração de Polinômios

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Soma de polinômios

A soma de polinômios é realizada somando-se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau.

 

Subtração de polinômios

A subtração de polinômios é realizada subtraindo-se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau.

Obs:

  • O polinômio resultante da soma ou da diferença entre dois polinômios não tem, necessariamente, grau igual à soma ou diferença dos graus dos polinômios originais.

AULA 4

Multiplicação de Polinômios

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A multiplicação de polinômios é feita termo a termo, com a utilização da propriedade distributiva, ou seja, realiza-se a multiplicação convencional de expressões algébricas. Após a realização de todas as multiplicações, agrupam-se os termos de mesmo grau.

Obs:

  • O grau do produto de dois polinômios não-nulos é a soma dos graus desses polinômios.

AULA 5

Divisão de Polinômios - Método da Chave

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A divisão de um polinômioA(x)por um polinômioB(x)pode ser indicada na chave por:

Os polinômios Q(x)eR(x)são chamados respectivamente de quociente e resto da divisão. O polinômioA(x)é chamado de dividendo e o polinômioB(x)é chamado de divisor. Os quatro polinômios são tais que:

A(x)=Q(x)\cdot B(x)+R(x)

Analogamente à divisão entre números reais, se o restoR(x)for nulo, dizemos que a divisão é exata e queA(x)é divisível porB(x).

Obs:

  • o grau deQ(x)é igual à diferença dos graus deA(x)eB(x):

gr(Q)=gr(A)-gr(B)

  • o grau deR(x)(paraR(x)não-nulo) será sempre menor que o grau do divisorB(x):

gr(R)<gr(B)

 

Método da Chave

A divisão entre os polinômios pode ser realizada pelo método da chave que consiste nos seguintes passos:

  1. Escrever os polinômios na ordem decrescente de seus expoentes dex;

  2. Caso falte algum termo, completar com zero;

  3. Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e colocar o resultado no quociente;

  4. Multiplicar este resultado por cada termo do divisor, inverter o sinal e colocar abaixo do termo correspondente no dividendo;

  5. Realizar a soma do dividendo com este polinômio resultante e escrever o resultado abaixo. Este polinômio será um novo dividendo;

  6. Se o grau deste polinômio for maior ou igual ao grau do divisor, prosseguir com a divisão, repetindo o procedimento a partir do passo 3. Se o grau deste polinômio for menor do que o grau do divisor, parar o procedimento.

AULA 6

Divisão de Polinômios - Teorema do Resto

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O teorema do resto diz que o resto da divisão de um polinômioP(x)por um binômio(x-a) é igual aP(a).

AULA 7

Divisão de Polinômios - Teorema de D'Alembert

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Teorema de D’Alembert

Este teorema pode ser entendido como consequência do teorema do resto: a divisão de um polinômioP(x) por um binômio(x-a)é exata se, e somente se,P(a)=0.

 

Teorema

Sendo um polinômio P(x)divisível por x-ae por x-b, coma\neq b, entãoP(x) é divisível pelo produto(x-a)\cdot (x-b).

AULA 8

Divisão de Polinômios - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini

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O dispositivo de Briot-Ruffini é uma forma prática de encontrar o quociente e o resto da divisão de um polinômioP(x), por um binômio(x-a). O dispositivo consiste nos seguintes passos:

  1. Escrever o polinômioP(x)na ordem decrescente de seus expoentes dex;

  2. Caso falte algum termo, completar com zero;

  3. Colocar o valor de a do lado esquerdo da grade e os coeficientes do polinômioP(x)ao lado direito da grade, na ordem decrescente dos expoentes dex;

  4. “Descer” o primeiro coeficiente:

  1. Multiplicar o número de baixo por a, somar o resultado com o próximo coeficiente deP(x)e escrever o resultado diretamente abaixo deste coeficiente:

  1. Tomar este resultado obtido e repetir o passo 5 coeficiente a coeficiente, até que se esgotem os coeficientes deP(x);

O último número obtido na linha de baixo será o resto da divisão e os números anteriores serão os coeficientes do quociente da divisão, em ordem decrescente:

Note que, quando dividimosP(x) por um binômio(x-a), o grau do quociente será uma unidade inferior ao grau deP(x).

AULA 9

Divisão de Polinômios - Briot-Ruffini para Divisão de P(x) por (ax-b)

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Agora, caso estejamos realizando a divisão de um polinômioP(x) por um binômio do tipo (ax-b), faremos pequenas alterações ao Briot-Ruffini convencional:

  • No campo da esquerda da grade colocaremos o valor de\frac{b}{a}para a execução do dispositivo;

  • Ao finalizarmos o procedimento, dividiremos os coeficientes do quociente pora;

  • O resto permanece inalterado!

AULA 10

Equações Polinomiais - Introdução

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Quando igualamos um polinômio a zero, chegamos a uma equação polinomial (ou equação algébrica):

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0

Dizemos que a equação tem graun.

 

Raiz ou zero de uma equação polinomial

Os valores que, quando substituídos no lugar dex, tornam a igualdade uma verdade são chamados de raízes ou zeros da equação. Solucionar a equação é encontrar todas as suas raízes, isto é, encontrar os valores que compõem o conjunto solução ou conjunto verdade da equação.

AULA 11

Equações Polinomiais - Teorema Fundamental da Álgebra

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Teorema fundamental da álgebra

Toda equação algébricaP(x)=0de graun\geq 1admite, pelo menos, uma raiz complexa.

Obs:

  • A raiz complexa não necessariamente tem parte imaginária (mas pode ter!). Um número real também é considerado um número complexo.

 

Decomposição em fatores do 1º grau

SejaP(x)um polinômio de graun\geq 1:

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

O polinômioP(x)pode ser decomposto em um produto de fatores do 1º grau no formato(x-x_i)onde  x_i  são suas raízes:

P(x)=a_n\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3)...\cdot (x-x_n)

AULA 12

Equações Algébricas - Multiplicidade de uma Raiz

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Um polinômio na forma fatorada pode apresentar fatores repetidos. Isto indica multiplicidade de raízes.

Sex_ké raiz de multiplicidade m do polinômioP(x), então o fator(x-x_k)aparecerá elevado ao expoente m na forma fatorada deP(x):

P(x)=a_n\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot ...\cdot (x-x_k)^m

AULA 13

Equações Algébricas - Redução de Grau

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Dada uma equação polinomialP(x)=0de graun, se conhecermos uma de suas raízes, podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para “reduzir o grau” da equação.

As raízes do quociente obtido também serão raízes do polinômioP(x). Logo, sendoQ(x)o quociente obtido no Briot-Ruffini, para encontrarmos as outras raízes deP(x)basta encontrarmos as raízes deQ(x).

AULA 14

Equações Algébricas - Raízes Complexas

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Sendoz=a+bi raiz da equaçãoP(x)=0, então\overline{z}=a-bi também será raiz dessa equação. Sezfor raiz de multiplicidadem, então\overline{z}também será.

Obs:

  • As raízes complexas sempre virão aos pares;

  • Se uma equação algébrica tem grau ímpar, então ela terá necessariamente pelo menos uma raiz real.

AULA 15

Equações Algébricas - Raízes Racionais

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Seja a equação algébricaP(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0de coeficientes inteiros. Se o número racional\frac{p}{q}(p\in Z e q\in Z*, compeqprimos entre si), é raiz dessa equação, entãopé divisor dea_0eqé divisor dea_n. Podemos escrever então um procedimento para encontrar possíveis raízes racionais deP(x):

  1. Listar os divisores dea_0(valores dep);

  2. Listar os divisores dea_n(valores deq);

  3. Listar todos os possíveis valores de\frac{p}{q};

  4. Testar os valores e verificar se são raízes.

AULA 16

Equações Polinomiais - Relações de Girard

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Equação do 2º grau

Seja a equaçãoax^2+bx+c=0, ondea\neq 0, cujas raízes sãox_1ex_2. Então: 

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

 

Equação do 3º grau

Seja a equaçãoax^3+bx^2+cx+d=0, ondea\neq 0, cujas raízes sãox_1, x_2ex_3. Então:

x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}

x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=\frac{c}{a}

x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}

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