Resumo de Posições de Retas e Planos no Espaço - Matemática

Ponto:Adimensional;

Reta: Possui pontos infinitos;

Semirreta: Um ponto divide uma reta em duas semirretas;

Segmento de reta:Dois pontos distintos são extremos de um segmento de reta;

Plano:Possui infinitos pontos e retas.

Postulado da existência

• Em uma reta existem infinitos pontos, dentro e fora dela;

• Em um plano existem infinitos pontos, dentro e fora dele. 

Postulado da determinação

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

• Três pontos não colineares ou uma reta e um ponto fora dela, determinam um único plano que passa por eles. 

Considere duas retas distintas.

Coplanares: pertencem ao mesmo plano.

• Concorrentes: possuem um único ponto em comum.

  • Perpendiculares: formam ângulos retos entre si.

  • Oblíquas: não formam ângulos retos entre si.

• Paralelas:

  • Distintas: não possuem pontos em comum.

  • Coincidentes: possuem todos os pontos em comum.

Reversas: não pertencem ao mesmo plano.

• Ortogonais: formam ângulos retos entre si.

• Não ortogonais: não formam ângulos retos entre si.

*Ângulo de duas retas: Tem vértice arbitrário e seus lados tem sentidos respectivamente concordantes com os sentidos das retas.

Considere dois planos distintos.

Secantes: possuem uma única reta em comum.

• Perpendiculares: baseia-se em uma única reta perpendicular a um plano.

Paralelos:

• Distintos: não possuem pontos em comum.

• Coincidentes: possuem todos os pontos em comum.

Teorema: Se três planos distintos são, dois a dois secantes, segundo três retas, ou essas retas são paralelas duas a duas ou passam por um mesmo ponto.

Considere uma reta e um plano.

Paralelos: não possuem nenhum ponto em comum.

Secantes: possuem um único ponto em comum.

• Perpendiculares: a reta forma ângulos retos com quaisquer retas contidas no plano.
• Oblíquas: não são perpendiculares.

Contida: todos os pontos da reta estão contidos no plano.

Projeção de um ponto

Projeção de uma figura

Projeção de Reta

• Perpendicular

• Não perpendicular

Projeção de um segmento

• Paralelo

• Oblíquo

Vistas são imagens de um mesmo objeto visualizadas a partir de ângulos diferentes. Cada ângulo possibilita uma perspectiva diferente. Por exemplo, a imagem abaixo vista de cima, de frente e a direita.

Mais um exemplo retratando o mesmo objeto visto a partir de ângulos diferentes.

Pirâmide do Egito vista de um ângulo.

Vista de cima

Uma cadeira vista de frente

Agora a mesma cadeira, fechada, vista de lado.

De modo geral, devemos pensar nas possíveis situações encontradas ao analisar os objetos, com os elementos que os constituem, por diferentes ângulos. Cada ângulo possibilita uma imagem.