Probabilidades - Matemática - Resumos em pdf para download

Introdução

Experimento aleatório

Experimentos aleatórios são os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que a repetição seja feita sob as mesmas condições.

Espaço amostral

É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Normalmente indicado pela letra S.

Evento

Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Normalmente indicado pela letra E.

Obs:

O evento { } (conjunto vazio) é chamado de evento impossível.
O evento S (espaço amostral) é denominado evento certo.

Probabilidade

A probabilidade de ocorrer o evento $E$ em um espaço amostral $S$ é dada por:

$p(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

Onde:

$n(E)$ : número de elementos do conjunto Evento ( $E$ )
$n(S)$ : número de elementos do conjunto Espaço Amostral ( $S$ )

Obs:

A probabilidade do evento $E$ acontecer será sempre um número entre 0 e 1:

$0\leq p(E)\leq 1$

A fórmula é válida para um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos do espaço amostral tem a mesma chance de acontecer.

Eventos Complementares

Eventos complementares

Seja $E$ um evento que é subconjunto de um espaço amostral $S$ . Chamamos de evento complementar de $E$ o evento $\overline{E}$ tal que $\overline{E} = S - E$ . A probabilidade do evento $\overline{E}$ acontecer é:

$p(\overline{E})=1 - p(E)$

União de Dois Eventos

Sejam $A$ e $B$ dois eventos do mesmo espaço amostral $S$ . Então a probabilidade do evento $A$ oudo evento $B$ acontecer é dada por:

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Eventos mutuamente exclusivos

Se os eventos tiverem intersecção nula:

$(A\cap B)=\oslash \Rightarrow$ $n(A\cap B)=0\Rightarrow$ $p(A\cap B)=0$

Neste caso dizemos que os eventos sãomutuamente exclusivose temos:

$p(A\cup B)= p(A) + p(B)$

Probabilidade Condicional

Sejam $A$ e $B$ dois eventos do mesmo espaço amostral $S$ . Então a probabilidade de $A$ acontecer, dado que $B$ aconteceu é indicada e calculada por:

$p(A/B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}$

Obs:

$p(A\cap B)$ e $p(B)$ são calculados em relação ao espaço amostral original $S$ .

Intersecção de Dois Eventos

Sejam A e B dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então a probabilidade do evento Aedo evento B acontecerem simultaneamente é dada por:

$p(A\cap B)=p(B).p(A/B)$

$p(A\cap B)=p(A).p(B/A)$

Eventos Independentes

Eventos independentes

Se $p(A)=p(A/B)$ , dizemos que os eventos são independentes. Em outras palavras, se o fato de um evento ocorrer não influencia a probabilidade do outro acontecer, os eventos são independentes.

Intersecção de dois eventos independentes

Como $p(A)=p(A/B)$ , a probabilidade do evento $A$ e do evento $B$ acontecerem simultaneamente será dada por:

$p(A\cap B)=p(A/B)\cdot p(B)\Rightarrow$

$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$