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Resumo de Propriedades dos Determinantes - Matemática

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AULA 1

Matriz transposta e fila nula

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Matriz transposta

O determinante de uma matrizM é igual o determinante da sua transpostaM^t, ou seja:

det \; M = det\; M^t,

sendoM uma matriz quadrada.

Exemplo:

Seja a matrizM=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 & -1 &0 \\ 1& 5 &4 \end{bmatrix}, então: \begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 0&-1 &0 \\ 1& 5 &4 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 &0 &1 \\ 2& -1 &5 \\ 3&0 &4 \end{vmatrix}

 

Fila nula

Se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz daM tiver todos os elementos nulos, o seu determinante é nulo.

Exemplo:

\begin{vmatrix} 1 &0 &-2 &3 \\ 4 & -3 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 5&1 &6 &32 \end{vmatrix}=0, pois uma das filas é nula, neste caso, a terceira linha.

\begin{vmatrix} 4 & -8 &0 \\ 1 &\sqrt{3} &0 \\ \pi &5 &0 \end{vmatrix}=0, pois a terceira coluna tem todos os elementos nulos.

AULA 2

Multiplicação de uma fila por uma constante

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Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por uma constante, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz inicial multiplicada por essa constante.

Exemplo 1:

SejaM=\begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ 3& 1 &4 \\ -1& 5 &0 \end{bmatrix} e{M}'=\begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ 2.3& 2.1 &2.4 \\ -1& 5 &0 \end{bmatrix}

det \; M=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 &4 \\ -1 & 5 &0 \end{vmatrix}=12, então:

det \; {M}'=2\cdot det\; M=2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 &4 \\ -1 & 5 &0 \end{vmatrix}=2\cdot 12=24

Exemplo 2:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 4 &8 \\ 3 &1 &16 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2.1\\ 2& 4 &2.4 \\ 3 &1 &2.8 \end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2& 4 &4 \\ 3 &1 &8 \end{vmatrix}

AULA 3

Troca de filas paralelas

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Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) o determinante muda o sinal.

Exemplo:

\begin{vmatrix} 1 &-3 &0 \\ 2& 1 &-1 \\ 4&5 &10 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 4 & 5 & 10\\ 2 &1 &-1 \\ 1 &-3 &0 \end{vmatrix}, pois a primeira e a terceira linhas trocaram de posição.

AULA 4

Filas paralelas iguais

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Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) são formadas por elementos respectivamente iguais, o determinante é nulo.

Exemplo:

\begin{vmatrix} -1 &0 &-6 &4 \\ 5 & 1 & 2 &-1 \\ -1 &0 &-6 &4 \\ 10 &3 &7 & 8 \end{vmatrix}=0, pois a primeira e a terceira linhas são iguais.

AULA 5

Filas paralelas proporcionais

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Se duas filas paralelas (linha ou coluna) são proporcionais, o determinante é nulo. Ou seja, se uma fila é igual a outra paralela a ela, multiplicada por uma constante, o determinante é nulo.

Exemplo:

\begin{vmatrix} 1 & -2 &5 &-4 \\ -2& 4 &-10 &8 \\ 0 & 7 &8 & 12\\ 11 &25 &-1 &0 \end{vmatrix}=0, pois a segunda linha é igual a primeira multiplicada por-2. Logo, as duas primeiras linhas são proporcionais. Sendo assim, o determinante é nulo.

AULA 6

Combinação linear de filas paralelas

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Se uma fila é a combinação linear de duas filas paralelas a ela, o determinante é nulo.

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 2 & 5 & 16\\ -4 &1 & -10 \end{vmatrix}=0, pois a terceira coluna é a soma da primeira multiplicada por3 e a segunda por2.

AULA 7

Teorema de Jacobi

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Adicionando-se a uma fila uma outra, paralela a ela, previamente multiplicada por uma constante, o determinante não se altera.

Exemplo:

\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 & 4 &12 \\ -1 &8 &-6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 &6 \\ -1& 8 &-6 \end{vmatrix}.

Repare que a primeira linha foi multiplicada por-2 e somada a segunda, substituindo esta pelo resultado obtido. Os dois determinantes são iguais.

AULA 8

Matriz triangular

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O determinante de uma matriz triangular, seja ela superior ou inferior, é o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

SejaM=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 7\\ 0 & 2 &-8 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} uma matriz triangular superior, o seu determinante é o produto da diagonal principal. Isto é,det\; M=1\cdot 2\cdot 3=6.

AULA 9

Regra de Chió

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Se o elementoa_{11}for igual a1, podemos suprimir a primeira linha e a primeira coluna. Dos elementos restantes, subtraímos o produto dos elementos da respectiva linha e coluna.

Exemplo:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 &1 \\ 2 & 2 & 4 & 3\\ 3 & 3 & 6 &5 \\ -1&1 &0 &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2-(2\cdot 1) &4-(2\cdot 2) &3-(2\cdot 1) \\ 3-(3\cdot 1)&6-(3\cdot 2) &5-(3\cdot 1) \\ 1-[(-1)\cdot 1] & 0-[(-1)\cdot 2] & 1-[(-1)\cdot 1] \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &2 \\ 2 &2 &2 \end{vmatrix}

Observação:

Ao utilizar a regra de Chió, o determinante será calculado a partir de uma matriz de ordem inferior. Por exemplo, se a matriz original for de ordem 4, ao aplicar Chió, o determinante resultante será calculado a partir de uma matriz de ordem 3. Dessa forma, Chió é utilizado para reduzir a ordem da matriz.

AULA 10

Matriz de Vandermonde

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Uma matriz é chamada de Vandermonde quando ela é do tipo:

M=\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 & 1 & 1\\ a_1 &a_2 &a_3 &a_4 & a_5\\ a_1^2 & a_2^2& a_3^2 & a_4^2 &a_5^2 \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 &a_5^3 \\ a_1^4 & a_2^4 &a_3^4 & a_4^4 & a_5^4 \end{pmatrix}

Os elementosa_1, a_2, a_3, a_4 ea_5 são chamados de característicos.

O determinante de uma matriz de Vandermonde é dado pelo produto entre todas as diferenças possíveis entre a colunai e a colunaj<i. Para o caso da matrizM, temos

det\; M=(a_5-a_4)\cdot (a_5-a_3)\cdot (a_5-a_2)\cdot (a_5-a_1)\cdot (a_4-a_3)\cdot (a_4-a_2)\cdot (a_4-a_1)\cdot (a_3-a_2)\cdot (a_3-a_1)\cdot (a_2-a_1)

Exemplo:

Seja  B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 &3 \\ 1 &4 &9 \end{pmatrix}uma matriz de Vandermonde.

det\; B=(3-2)\cdot (3-1)\cdot (2-1)=1\cdot 2\cdot 1=2

AULA 11

Teorema de Binet

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O determinante do produto entre duas matrizes é igual o produto dos determinantes.

det(A\cdot B)=(det\; A)\cdot (det\; B), sendoA eB matrizes quadradas.

Consequência:

det\; A^{-1}=\frac{1}{det\; A}, sendo A uma matriz que possua inversa, ou seja, sedet\; A\neq 0.

AULA 12

Exercícios

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