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Resumo de Propriedades dos Determinantes - Matemática

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AULA 1

Matriz transposta e fila nula

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Matriz transposta

O determinante de uma matriz $M$ é igual o determinante da sua transposta $M^t$ , ou seja:

$det \; M = det\; M^t$ ,

sendo $M$ uma matriz quadrada.

Exemplo:

Seja a matriz $M=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 & -1 &0 \\ 1& 5 &4 \end{bmatrix}$ , então: $\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 0&-1 &0 \\ 1& 5 &4 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 &0 &1 \\ 2& -1 &5 \\ 3&0 &4 \end{vmatrix}$

Fila nula

Se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz da $M$ tiver todos os elementos nulos, o seu determinante é nulo.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 &0 &-2 &3 \\ 4 & -3 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 5&1 &6 &32 \end{vmatrix}=0$ , pois uma das filas é nula, neste caso, a terceira linha.

$\begin{vmatrix} 4 & -8 &0 \\ 1 &\sqrt{3} &0 \\ \pi &5 &0 \end{vmatrix}=0$ , pois a terceira coluna tem todos os elementos nulos.

AULA 2

Multiplicação de uma fila por uma constante

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Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por uma constante, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz inicial multiplicada por essa constante.

Exemplo 1:

Seja $M=\begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ 3& 1 &4 \\ -1& 5 &0 \end{bmatrix}$ e ${M}'=\begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ 2.3& 2.1 &2.4 \\ -1& 5 &0 \end{bmatrix}$

$det \; M=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 &4 \\ -1 & 5 &0 \end{vmatrix}=12$ , então:

$det \; {M}'=2\cdot det\; M=2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 &4 \\ -1 & 5 &0 \end{vmatrix}=2\cdot 12=24$

Exemplo 2:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 4 &8 \\ 3 &1 &16 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2.1\\ 2& 4 &2.4 \\ 3 &1 &2.8 \end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2& 4 &4 \\ 3 &1 &8 \end{vmatrix}$

AULA 3

Troca de filas paralelas

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Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) o determinante muda o sinal.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 &-3 &0 \\ 2& 1 &-1 \\ 4&5 &10 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 4 & 5 & 10\\ 2 &1 &-1 \\ 1 &-3 &0 \end{vmatrix}$ , pois a primeira e a terceira linhas trocaram de posição.

AULA 4

Filas paralelas iguais

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Se duas filas paralelas (linhas ou colunas) são formadas por elementos respectivamente iguais, o determinante é nulo.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} -1 &0 &-6 &4 \\ 5 & 1 & 2 &-1 \\ -1 &0 &-6 &4 \\ 10 &3 &7 & 8 \end{vmatrix}=0$ , pois a primeira e a terceira linhas são iguais.

AULA 5

Filas paralelas proporcionais

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Se duas filas paralelas (linha ou coluna) são proporcionais, o determinante é nulo. Ou seja, se uma fila é igual a outra paralela a ela, multiplicada por uma constante, o determinante é nulo.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 & -2 &5 &-4 \\ -2& 4 &-10 &8 \\ 0 & 7 &8 & 12\\ 11 &25 &-1 &0 \end{vmatrix}=0$ , pois a segunda linha é igual a primeira multiplicada por $-2$ . Logo, as duas primeiras linhas são proporcionais. Sendo assim, o determinante é nulo.

AULA 6

Combinação linear de filas paralelas

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Se uma fila é a combinação linear de duas filas paralelas a ela, o determinante é nulo.

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 2 & 5 & 16\\ -4 &1 & -10 \end{vmatrix}=0$ , pois a terceira coluna é a soma da primeira multiplicada por $3$ e a segunda por $2$ .

AULA 7

Teorema de Jacobi

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Adicionando-se a uma fila uma outra, paralela a ela, previamente multiplicada por uma constante, o determinante não se altera.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 & 4 &12 \\ -1 &8 &-6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 &6 \\ -1& 8 &-6 \end{vmatrix}$ .

Repare que a primeira linha foi multiplicada por $-2$ e somada a segunda, substituindo esta pelo resultado obtido. Os dois determinantes são iguais.

AULA 8

Matriz triangular

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O determinante de uma matriz triangular, seja ela superior ou inferior, é o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

Seja $M=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 7\\ 0 & 2 &-8 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ uma matriz triangular superior, o seu determinante é o produto da diagonal principal. Isto é, $det\; M=1\cdot 2\cdot 3=6$ .

AULA 9

Regra de Chió

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Se o elemento $a_{11}$ for igual a $1$ , podemos suprimir a primeira linha e a primeira coluna. Dos elementos restantes, subtraímos o produto dos elementos da respectiva linha e coluna.

Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 &1 \\ 2 & 2 & 4 & 3\\ 3 & 3 & 6 &5 \\ -1&1 &0 &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2-(2\cdot 1) &4-(2\cdot 2) &3-(2\cdot 1) \\ 3-(3\cdot 1)&6-(3\cdot 2) &5-(3\cdot 1) \\ 1-[(-1)\cdot 1] & 0-[(-1)\cdot 2] & 1-[(-1)\cdot 1] \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &2 \\ 2 &2 &2 \end{vmatrix}$

Observação:

Ao utilizar a regra de Chió, o determinante será calculado a partir de uma matriz de ordem inferior. Por exemplo, se a matriz original for de ordem 4, ao aplicar Chió, o determinante resultante será calculado a partir de uma matriz de ordem 3. Dessa forma, Chió é utilizado para reduzir a ordem da matriz.

AULA 10

Matriz de Vandermonde

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Uma matriz é chamada de Vandermonde quando ela é do tipo:

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 & 1 & 1\\ a_1 &a_2 &a_3 &a_4 & a_5\\ a_1^2 & a_2^2& a_3^2 & a_4^2 &a_5^2 \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 &a_5^3 \\ a_1^4 & a_2^4 &a_3^4 & a_4^4 & a_5^4 \end{pmatrix}$

Os elementos $a_1, a_2, a_3, a_4$ e $a_5$ são chamados de característicos.

O determinante de uma matriz de Vandermonde é dado pelo produto entre todas as diferenças possíveis entre a coluna $i$ e a coluna $j<i$ . Para o caso da matriz $M$ , temos

$det\; M=(a_5-a_4)\cdot (a_5-a_3)\cdot (a_5-a_2)\cdot (a_5-a_1)\cdot (a_4-a_3)\cdot (a_4-a_2)\cdot (a_4-a_1)\cdot (a_3-a_2)\cdot (a_3-a_1)\cdot (a_2-a_1)$