Resumo de Equações Trigonométricas - Matemática

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Relações no Ciclo Trigonométrico

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Inequações Trigonométricas

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AULA 1

Expressões Gerais para Pontos do Ciclo

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Expressão dos reais associados a um ponto

$x=\alpha +k\cdot 2\pi , k\in Z$ (em radianos)

$x=\alpha +k\cdot 360^o , k\in Z$ (em graus)

Expressão dos reais associados a extremidades de um diâmetro

$x=\alpha +k\cdot \pi , k\in Z$ (em radianos)

$x=\alpha +k\cdot 180^o, k\in Z$ (em graus)

Expressão dos reais associados à circunferência dividida em n partes iguais

$x=\alpha +k\cdot \frac{2\pi}{n}, k\in Z$ (em radianos)

$x=\alpha +k\cdot \frac{360^o}{n}, k\in Z$ (em graus)

No ciclo trigonométrico, o eixo das tangentes passa paralelo ao eixo dos senos, porém tangenciando a circunferência. Em relação ao sinal da tangente temos:

Quadrantes I e III: tangente positiva.

AULA 2

Equações Trigonométricas do Tipo sen(n.x)=k

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Para equações do tipo $sen (n\cdot x)=k$ , marcamos no eixo dos senos o valor de $k$ e verificamos quais ângulos correspondem àquele valor. Igualamos então $n\cdot x$ a estes ângulos e isolamos $x$ .

Observe que:

Devemos ficar atentos ainda para o intervalo de resolução da equação. Por exemplo, se estivermos resolvendo no intervalo de $0\leq x<2\pi$ , as soluções ficarão limitadas à primeira volta do ciclo trigonométrico. Já se estivermos resolvendo a equação em $R$ , as soluções deverão conter ângulos de outras voltas (eventualmente infinitas soluções).

AULA 3

Equações Trigonométricas do Tipo cos(n.x)=k

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Para equações do tipo $cos (n\cdot x)=k$ , marcamos no eixo dos cossenos o valor de $k$ e verificamos quais ângulos correspondem àquele valor. Igualamos então $n\cdot x$ a estes ângulos e isolamos $x$ .

Observe que:

AULA 4

Equações Trigonométricas do Tipo tg(n.x)=k

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Para equações do tipo $tg (n\cdot x)=k$ , marcamos no eixo das tangentes o valor de $k$ e verificamos quais ângulos correspondem àquele valor. Igualamos então $n\cdot x$ a estes ângulos e isolamos $x$ .

Observe que:

AULA 5

Equações Trigonométricas do Tipo sen(nx)=sen x, cos(nx)=cos x ou tg(nx) = tg x

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$sen x=sen b$ , se e somente se

$x= b+k\cdot 2\pi$

$x= \pi -b+k\cdot 2\pi$

$cos x=cos b$ , se e somente se

$x= b+k\cdot 2\pi$

$x= 2\pi -b+k\cdot 2\pi$

$tg x=tg b$ , se e somente se

$x= b+k\cdot \pi$

AULA 6

Equações Trigonométricas que Recaem em Equações do 2º grau

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Roteiro para resolução:

Mudar para uma variável comum (ex: $sen x = t$ );
Resolver a equação do 2º grau;
Retornar à variável trigonométrica.

AULA 7

Equações Trigonométricas do Tipo a.sen x + b.cos x = c, com a≠0 e b≠0

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Roteiro para resolução:

Formar sistema de 2 equações, com auxílio da primeira relação fudamental, $sen^2x+cos^2x=1$ ;
Resolver o sistema por substituição;
Resolver a equação que recairá em uma equação do 2º grau, como visto na última aula.