Semelhança - Matemática - Resumos em pdf para download

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Congruência de Triângulos

Dois triângulos são congruentes se, e somente se:

  • Os ângulos internos são congruentes;

  • Os lados são congruentes.

 

Casos

  • LAL:Lado-ângulo-lado;

  • ALA:Ângulo-lado-ângulo;

  • LLL:Lado-lado-lado;

  • LAA_o:Lado-ângulo-ângulo oposto.

Atenção: no triângulo retângulo, há um caso adicional:

  • CH:Cateto-hipotenusa.

Teorema de Tales

“Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos de uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra transversal”.

Dado um conjunto de retas nestas condições, pode-se estabelecer uma série de relações entre as medidas envolvidas, como por exemplo:

\frac{x}{y}=\frac{z}{x}

\frac{x+y}{x}=\frac{z+w}{z}

\frac{y}{x+y}=\frac{w}{z+w}

Teorema da Bissetriz Interna

Observe um triângulo dividido por sua bissetriz interna:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Interna diz que vale a relação:

\frac{b}{m}=\frac{c}{n}

Teorema da Bissetriz Externa

Observe um triângulo e sua bissetriz externa:

Neste caso, o Teorema da Bissetriz Externa diz que vale a relação:

\frac{c}{n}=\frac{b}{m}

Semelhança de Triângulos - Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos internos forem respectivamente congruentes e seus lados correspondentes proporcionais.

Considere os triângulos abaixo, que atendem a estas condições.

Observe que:

\hat{A}\equiv \hat{D}(\alpha )

\hat{B}\equiv \hat{E}(\beta )

\hat{C}\equiv \hat{F}(\gamma )

Portanto, podemos dizer que os triângulos são semelhantes, nesta ordem:

\Delta ABC\sim \Delta DEF

Neste caso, valem as seguintes relações:

\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=k

Chamamoskde razão de proporção entre os triângulos.

 

Relação entre perímetros

Dados dois triângulos semelhantes de razão de semelhança k, seus perímetros também são proporcionais, obedecendo à mesma razão de semelhança:

k=\frac{P}{p}

 

Caso especial

Considere dois triângulos na configuração abaixo:

Se \overline{BC}\left \| \overline{DE}então\Delta ABC\sim \Delta ADE.

Semelhança de Triângulos - Casos de Semelhança

Para identificar triângulos semelhantes, podemos buscar os seguintes casos:

  • AA– Ângulo-ângulo: pelo menos dois ângulos internos congruentes;

  • LLL– Lado-lado-lado: todos os três lados proporcionais;

  • LAL– Lado-ângulo-lado: um ângulo congruente e os dois lados adjacentes a ele proporcionais. Atenção: é necessário que o lado-ângulo-lado estejam nesta ordem para que seja garantida a relação de semelhança.

Semelhança de Triângulos - Base Média de um Triângulo

Considere o triângulo ABC e o triângulo AMN, onde M é ponto médio de AB e N é ponto médio de AC, conforme figura abaixo:

Neste caso,\Delta ABC\sim \Delta AMNe vale a relação:

\overline{MN}=\frac{\overline{BC}}{2}

Polígonos Semelhantes

Definição: dois polígonos convexos são semelhantes se, e somente se:

  • Seus ângulos internos forem congruentes, respectivamente;

  • Seus lados correspondentes forem proporcionais.

Neste caso, todos os lados correspondentes podem ser escritos como uma razão que será igual à razão de semelhança k entre os dois polígonos.

Razão de Semelhança entre Áreas

Definição: a razão entre as áreas de dois polígonos convexos semelhantes é igual à razão de semelhança entre eles (entre lados correspondentes, entre perímetros, etc.) ao quadrado.

Em outras palavras: sejak a razão de semelhança entre dois polígonos convexos semelhantes quaisquer. Então a razão entre suas áreas será:

\frac{A_{Pol\acute{i}gono\: 1}}{A_{Pol\acute{i}gono\, 1}}=k^2

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