Quer ter acesso aos nossos resumos completos?

Assine o Stoodi e prepare-se para o ENEM com conteúdos exclusivos!

Resumo de Simetrias - Matemática

Quer estudar Simetrias? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Introdução e Reflexão

Assistir aula

Chamamos de simetria a transformação de imagens através de um eixo, ponto ou plano na qual a forma é preservada. Ou seja, a estrutura angular e o comprimento dos lados das figuras são mantidas. As transformações que falamos são de três tipos, reflexão, rotação e translação.  

Uma ideia muito presente nas simetrias está relacionada com a beleza das formas na sua construção, inicialmente não identificamos essa qualidade ao observar e relacionar as figuras com as propriedades da simetria.

Reflexão

Na reflexão a imagem original tem uma imagem equivalente de tal modo que os pontos correspondentes tenham a mesma distância em relação a um eixo ou em relação a um ponto. Disso, tiramos que existem dois tipos de simetria por reflexão. Uma em torno de uma reta e outra em relação a um ponto.

  • Reflexão em relação a uma reta – Nessa simetria existe uma reta ou eixo, também chamada de mediatriz, que separa a figura em duas partes de modo que ao dobrar a folha em torno dessa reta os pontos correspondentes sejam coincidentes.  Um exemplo desse tipo ocorre na Figura 2.

  • Reflexão em relação a um ponto – Inicialmente vamos considerar a simetria de um ponto A em relação a um outro ponto O.

O simétrico do ponto A em relação a um ponto O é construído a partir da reta AO de maneira que AO = OA’. Ou seja, o ponto O é o ponto médio do segmento AA’.

Observação: Perceba que AA’ é um segmento de reta traçado a partir dos pontos A e O.
A simetria de uma figura por reflexão, em relação a um ponto, é a simetria do conjunto de pontos da figura dada em relação a esse ponto.

A reflexão do retângulo ABOC acima em torno do ponto O é formada a partir da simetria dos pontos A, B, E e C em torno de O.

Perceba que O é o ponto médio dos segmentos BB’, CC’, DD’ e AA’.

O ponto de referência pode pertencer ou não a figura. Abaixo consideramos a reflexão do retângulo ABCD em relação ao ponto O que não pertence ao retângulo.

Na próxima imagem destacamos a simetria do retângulo ABCD em relação a reta r e em relação ao ponto O. Perceba a diferença entre os retângulos A’B’C’D’ e A”B”C”D” obtidos.

O retângulo A’B’C’D’ é a reflexão do retângulo ABCD em relação a reta r e o retângulo A”B”C”D” em relação ao ponto O.
Mais um exemplo de simetria por reflexão em relação a uma reta vertical.

Uma característica importante da simetria por reflexão é a reta vertical (eixo de simetria) ser perpendicular ao semento formado pelos pontos correspondentes da imagem original e a “virtual”. Ou seja, AA’, MM’, NN’, OO’ e PP’ são perpendiculares ao eixo de simetria. Isto é, formam 90°.
 

 

AULA 2

Exemplos de Reflexão

Assistir aula

.

AULA 3

Rotação

Assistir aula

Na simetria por rotação a figura gira em torno de um ponto, chamado centro de rotação, no sentido horário ou anti-horário.


Na figura acima vemos o giro de 120° no sentido horário da letra P em relação ao ponto O.
A simetria de rotação foi bastante utilizada nas obras do artista gráfico holandês, Maurits Cornelis Escher. A figura 1 possui esse tipo de simetria.

A figura 1 é simétrica por rotação e, além disso, dizemos que é invariante por rotação. Ao girar em torno do centro 120° no sentido horário ou anti-horário a imagem retorna a sua posição original. Isso também ocorre, por exemplo, no símbolo que representa o lixo radioativo.

Exemplos de formas geométricas simétricas por rotação:

AULA 4

Translação

Assistir aula

A simetria por translação é o deslocamento da imagem através de um eixo sem fazer uso da reflexão e rotação. A imagem apenas percorre no sentido de uma reta, sem fazer giros ou inversão de sentido.

A figura 3 tem presente a simetria por translação. Nela vemos o desenho típico das calçadas paulistanas na qual o mapa do estado de São Paulo aparece em destaque. A translação ocorre no sentido da diagonal.

Na simetria por translação como o da calçada, há a pavimentação do plano no encaixe perfeito dos mapas. Isso também ocorre na expressão artística abaixo, obra de autoria de Escher.

AULA 5

Simetria no Plano Cartesiano

Assistir aula

No plano cartesiano temos a simetria em relação aos eixos e em relação ao ponto.

  • Simetria em relação ao eixo das ordenadas (eixo y)

Um ponto P(4, 3) no plano cartesiano dista 4 unidades do eixo y, e o seu simétrico também dista 4 unidades do mesmo eixo, nesse caso no sentido negativo. O simétrico de P(4, 3) é o ponto P’(-4, 3). Observe que o simétrico de um ponto em relação ao eixo y é um outro ponto com sinal de x trocado.

De modo geral, temos que o simétrico de um ponto qualquer (a, b) em relação ao eixo y é o ponto (-a, b).

Simetria em relação ao eixo das abscissas (eixo x)

Em relação ao eixo x, o simétrico de P(4, 3) é o ponto P’(4, -3). A distância dos dois pontos ao eixo das abscissas é de 3 unidades.

De modo geral, temos que o simétrico de um ponto qualquer (a, b) em relação ao eixo x é o ponto (a, -b).
É importante destacar que o segmento PP’ é sempre perpendicular ao eixo de simetria.

Simetria em relação a origem do plano cartesiano

A simetria de uma figura em torno da origem do plano cartesiano é uma outra figura na qual o conjunto de pontos correspondentes tenha a origem como ponto médio dos segmentos formados entre o ponto original e o seu equivalente.

De modo geral, o simétrico de um ponto de coordenadas (a,b),  em relação a origem, é o ponto (-a, -b). Ou seja, trocando os sinais das coordenadas encontramos o seu simétrico.

No exemplo abaixo o retângulo A’B’C’D’ é simétrico, em relação a origem, do retângulo ABCD. Repare que os pontos A(2, 5) e A’(-2, -5), B(6, 5) e B’(-6, -5), C(6, 3) e C’(-6, -3), D(2, 3) e D’(-2, -3) são simétricos em torno de O.

Observe também que o O é o ponto médio dos segmentos AA’, BB’, CC’ e DD”.

 

Conta de email não verificada

Não foi possível realizar o seu cadastro com a sua conta do Facebook pois o seu email não está confirmado no Facebook.

Clique aqui para ver como confirmar sua conta de email no Facebook ou complete seu cadastro por aqui.

Entendi
Clicando em "Criar perfil", você aceita os termos de uso do Stoodi.
Tem perfil no Stoodi? Fazer Login