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Resumo de Sistemas Lineares - Matemática

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AULA 1

Definições

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Equação linear

Chamaremos de equação linear toda equação do tipo:

a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=c

Chamaremos:

  • a_1, a_2, a_3, ..., a_n: coeficientes reais, não todos nulos

  • x_1, x_2, x_3, ..., x_n: são as incógnitas

  • c: termo independente

Se o termo independente for igual a zero(c = 0), a equação recebe um nome específico: equação linear homogênea.

 

Sistemas lineares

Um sistema linearé um conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas lineares pelo número de equações e de incógnitas que eles possuem.
De forma geral, um sistema linear demequações en incógnitas também pode ser chamado de sistema linearm\times n(lê-se “m por n”), e é constituído de m equações, onde cada equação contém as mesmasn incógnitas:

a_1_1x_1+a_1_2x_2+a_1_3x_3+...+a_1_nx_n=c_1 a_2_1x_1+a_2_2x_2+a_2_3x_3+...+a_2_nx_n=c_2 a_3_1x_1+a_3_2x_2+a_3_3x_3+,,,+a_3_nx_n=c_3 ... a_m_1x_1+a_m_2x_2+a_m_3x_3+...+a_m_nx_n= c_m

 

Solução de um sistema linear

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

 

Sistema linear homogêneo

Umsistema linear homogêneo é um sistema composto apenas por equações lineares homogêneas, ou seja, são sistemas onde todas as equações tem termo independente igual a zero.
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução: a solução nula(0, 0, 0, ..., 0), também chamada desolução trivial. Obviamente, o sistema pode admitir também outras soluções, além da trivial.

AULA 2

Classificação de um Sistema Linear

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Um sistema linear é classificado de acordo com a quantidade de soluções que ele admite:

  • Sistema possível determinado (SPD): admite uma única solução;

  • Sistema possível indeterminado (SPI): admite infinitas soluções;

  • Sistema impossível (SI): não admite solução alguma.

Esquematicamente:

Obs: sistemas homogêneos NUNCA serão SI, pois sempre admitirão pelo menos a solução nula.

AULA 3

Escalonamento

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O sistema de escalonamento consiste em levar o sistema a um formato de “escada”, ou seja, de equação para equação, no sentido de cima para baixo, há um aumento dos coeficientes nulos da esquerda para a direita.

Para isso, podemos realizar à vontade ações que não alteram a solução do sistema:

  • trocar equações de posição;

  • multiplicar uma equação por um número real qualquer;

  • substituir equações pelo resultado da soma ou subtração dela mesma com outra equação do sistema.

 

Observações importantes

  • Se, ao escalonarmos um sistema, chegarmos a alguma equação do tipo0\cdot x_1+0\cdot x_2+...+0\cdot x_n=0, esta equação deverá ser eliminada do sistema.

  • Se, ao escalonarmos um sistema, chegarmos a alguma equação do tipo0\cdot x_1+0\cdot x_2+...+0\cdot x_n=c, comc\neq 0, o sistema será impossível, pois não há valor que multiplicado por zero resulte em um número diferente de zero.

AULA 4

Regra de Cramer

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Definições

A Regra de Cramer fornece uma alternativa ao escalonamento, para solucionarmos sistemas lineares n×n. Ela utiliza-se do conceito de matrizes.

Para efeito didático, vamos exemplificar a Regra de Cramer com um sistema2\times 2, embora ele se aplique a qualquer sisteman\times n.

Considere o sistemaa_1x+b_1y=c_1 a_2x+b_2y=c_2.

Definiremos então:

A matriz composta pelos coeficientes do sistema é chamada de matriz incompleta do sistema:

  • D=|a_1 b_1 a_2 b_2 |é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema, que chamamos de matriz incompleta do sistema;

  • D_x=|c_1 b_1 c_2 b_2 |é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes dex pelos termos independentes, na matriz incompleta;

  • D_y=|a_1 c_1 a_2 c_2 |é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes dey pelos termos independentes, na matriz incompleta.

 

Soluções

SeD\neq 0 as soluções do sistema serão dadas por:

x=\frac{D_x}{D}

y=\frac{D_y}{D}

Para sistemas com mais incógnitas a lógica de solução é análoga, substituindo-se no cálculo do determinanteD_i os coeficientes pelos termos independentes.

 

Classificação de sistemas com a Regra de Cramer

  • Sistema possível determinado (SPD): seD\neq 0, o sistema será SPD.

  • Sistema possível indeterminado (SPI): seD=0e todos osD_i=0, o sistema será SPI.

  • Sistema impossível (SI): seD=0 e pelo menos umD_i\neq 0, o sistema será SI.

Esquematicamente:

 

AULA 5

Discussão de Sistemas Lineares

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Discutir um sistema é dizer para quais valores de um parâmetro o sistema é SPD, SPI ou SI.

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