Resumo de Triângulos - Matemática

Quer estudar Triângulos? Aqui no Stoodi você encontra resumos grátis de Matemática que podem ser salvos em PDF para ajudar na sua preparação para o Enem e principais vestibulares.

AULA 1

Classificação e Ângulos

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Classificação de triângulos quanto aos lados

Triângulo escaleno

  • Possui três lados distintos entre si.

Triângulo isóceles

  • Possui pelo menos dois lados congruentes entre si.

Triângulo equilátero

  • Possui três lados congruentes entre si.

Atenção: Todo triângulo equilátero é classificado também como isóceles.

 

Classificação de triângulos quanto a seus ângulos

Triângulo acutângulo

  • Todos os seus ângulos são agudos.

Triângulo retângulo

  • Possui um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos.

Triângulo obtusângulo

  • Possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

 

Alguns teoremas importantes relativos a triângulos

  1. A soma de um ângulo interno e um externo é igual a 180°:

\alpha +\beta =180^o

  1. A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^o

  1. A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é igual a 360°:

  1. A medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele:

AULA 2

Segmentos e Pontos Notáveis

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Segmentos Notáveis

Mediana

  • Segmento com extremos e um vértice e no ponto médio do lado oposto.

Bissetriz

  • Semirreta com origem no vértice do ângulo interno, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

Mediatriz

  • Reta perpendicular ao lado, passando pelo seu ponto médio.

Altura

  • Segmento perpendicular ao lado, com extremo no vértice oposto.

 

Pontos Notáveis

Baricentro

  • Ponto de encontro das medianas;

  • É o centro de gravidade do triângulo;

  • Divide a mediana em uma proporção 2:1, a partir do vértice.

Incentro

  • Ponto de encontro das bissetrizes;

  • É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Ortocentro

  • Ponto de encontro das alturas;

  • Não possui nenhuma propriedade relevante.

Circuncentro

  • Ponto de encontro das mediatrizes;

  • É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Importante: no triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem.

AULA 3

Área de um Triângulo

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Fórmula 1

A área de um triângulo é igual à metade do produto da baseb pela alturah:

A=\frac{b\cdot h}{2}

 

Fórmula 2 (Fórmula de Herão)

Sendo a, b e c os lados de um triângulo, sua área pode ser calculada pela Fórmula de Herão:

A=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}

Nesta fórmula, p é o semiperímetro do triângulo:

p=\frac{a+b+c}{2}

Atenção: a grande vantagem desta fórmula é a possibilidade de calcular a área de um triângulo conhecendo-se apenas os tamanhos de seus lados e nada mais.

 

Fórmula 3

Dado um triângulo qualquer:

Então a área do triângulo pode ser calculada por:

A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sen\alpha

AULA 4

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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Considere um triângulo retângulo qualquer:

Temos que:

  • a: hipotenusa;

  • b, c: catetos;

  • m, n: projeções;

  • h: altura.

Então, podemos utilizar diretamente as seguintes relações:

b^2=m\cdot a

c^2=n\cdot a

h^2=m\cdot n

b\cdot c=a\cdot h

Além disso, vale o Teorema de Pitágoras:

a^2=b^2+c^2

AULA 5

Teorema dos Cossenos

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Dado um triângulo:

O Teorema dos Cossenos ou Lei dos Cossenos fala que valem as seguintes relações:

a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\beta

c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\gamma

AULA 6

Teorema dos Senos

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Dado um triângulo:

O Teorema dos Senos fala que valem as seguintes relações:

\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\gamma }=2R

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