Triângulos - Matemática - Resumos em pdf para download

Classificação e Ângulos

Classificação de triângulos quanto aos lados

Triângulo escaleno

Possui três lados distintos entre si.

Triângulo isóceles

Possui pelo menos dois lados congruentes entre si.

Triângulo equilátero

Possui três lados congruentes entre si.

Atenção: Todo triângulo equilátero é classificado também como isóceles.

Classificação de triângulos quanto a seus ângulos

Triângulo acutângulo

Todos os seus ângulos são agudos.

Triângulo retângulo

Possui um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos.

Triângulo obtusângulo

Possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Alguns teoremas importantes relativos a triângulos

A soma de um ângulo interno e um externo é igual a 180°:

$\alpha +\beta =180^o$

A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°:

$\alpha +\beta +\gamma =180^o$

A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é igual a 360°:

A medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele:

Segmentos e Pontos Notáveis

Segmentos Notáveis

Mediana

Segmento com extremos e um vértice e no ponto médio do lado oposto.

Bissetriz

Semirreta com origem no vértice do ângulo interno, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

Mediatriz

Reta perpendicular ao lado, passando pelo seu ponto médio.

Altura

Segmento perpendicular ao lado, com extremo no vértice oposto.

Pontos Notáveis

Baricentro

Ponto de encontro das medianas;
É o centro de gravidade do triângulo;
Divide a mediana em uma proporção 2:1, a partir do vértice.

Incentro

Ponto de encontro das bissetrizes;
É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Ortocentro

Ponto de encontro das alturas;
Não possui nenhuma propriedade relevante.

Circuncentro

Ponto de encontro das mediatrizes;
É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Importante: no triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem.

Área de um Triângulo

Fórmula 1

A área de um triângulo é igual à metade do produto da base $b$ pela altura $h$ :

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Fórmula 2 (Fórmula de Herão)

Sendo a, b e c os lados de um triângulo, sua área pode ser calculada pela Fórmula de Herão:

$A=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$

Nesta fórmula, p é o semiperímetro do triângulo:

$p=\frac{a+b+c}{2}$

Atenção: a grande vantagem desta fórmula é a possibilidade de calcular a área de um triângulo conhecendo-se apenas os tamanhos de seus lados e nada mais.

Fórmula 3

Dado um triângulo qualquer:

Então a área do triângulo pode ser calculada por:

$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sen\alpha$

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Considere um triângulo retângulo qualquer:

Temos que:

a: hipotenusa;
b, c: catetos;
m, n: projeções;
h: altura.

Então, podemos utilizar diretamente as seguintes relações:

$b^2=m\cdot a$

$c^2=n\cdot a$

$h^2=m\cdot n$

$b\cdot c=a\cdot h$

Além disso, vale o Teorema de Pitágoras:

$a^2=b^2+c^2$

Teorema dos Cossenos

Dado um triângulo:

O Teorema dos Cossenos ou Lei dos Cossenos fala que valem as seguintes relações:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\gamma$

Teorema dos Senos

Dado um triângulo:

O Teorema dos Senos fala que valem as seguintes relações:

$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\gamma }=2R$