Resumo de Triângulos - Matemática

Classificação de triângulos quanto aos lados

Triângulo escaleno

• Possui três lados distintos entre si.

Triângulo isóceles

• Possui pelo menos dois lados congruentes entre si.

Triângulo equilátero

• Possui três lados congruentes entre si.

Atenção: Todo triângulo equilátero é classificado também como isóceles.

Classificação de triângulos quanto a seus ângulos

Triângulo acutângulo

• Todos os seus ângulos são agudos.

Triângulo retângulo

• Possui um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos.

Triângulo obtusângulo

• Possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Alguns teoremas importantes relativos a triângulos

1. A soma de um ângulo interno e um externo é igual a 180°:

2. A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°:

3. A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é igual a 360°:

4. A medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele:

Segmentos Notáveis

Mediana

• Segmento com extremos e um vértice e no ponto médio do lado oposto.

Bissetriz

• Semirreta com origem no vértice do ângulo interno, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

Mediatriz

• Reta perpendicular ao lado, passando pelo seu ponto médio.

Altura

• Segmento perpendicular ao lado, com extremo no vértice oposto.

Pontos Notáveis

Baricentro

• Ponto de encontro das medianas;

• É o centro de gravidade do triângulo;

• Divide a mediana em uma proporção 2:1, a partir do vértice.

Incentro

• Ponto de encontro das bissetrizes;

• É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Ortocentro

• Ponto de encontro das alturas;

• Não possui nenhuma propriedade relevante.

Circuncentro

• Ponto de encontro das mediatrizes;

• É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Importante: no triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem.

Fórmula 1

A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura:

Fórmula 2 (Fórmula de Herão)

Sendo a, b e c os lados de um triângulo, sua área pode ser calculada pela Fórmula de Herão:

Nesta fórmula, p é o semiperímetro do triângulo:

Atenção: a grande vantagem desta fórmula é a possibilidade de calcular a área de um triângulo conhecendo-se apenas os tamanhos de seus lados e nada mais.

Fórmula 3

Dado um triângulo qualquer:

Então a área do triângulo pode ser calculada por:

Considere um triângulo retângulo qualquer:

Temos que:

• a: hipotenusa;

• b, c: catetos;

• m, n: projeções;

• h: altura.

Então, podemos utilizar diretamente as seguintes relações:

Além disso, vale o Teorema de Pitágoras:

Dado um triângulo:

O Teorema dos Cossenos ou Lei dos Cossenos fala que valem as seguintes relações:

Dado um triângulo:

O Teorema dos Senos fala que valem as seguintes relações: