Saiba mais sobre os números reais e seus conjuntos | Stoodi

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Números são a base da Matemática, mas também protagonizam operações e fórmulas em outras disciplinas como a Química, a Física e, até mesmo, a Biologia. No entanto, apesar de utilizá-los com frequência no dia a dia, será que você conhece todos os tipos de algarismos e seus conjuntos numéricos?

Neste post, vamos nos aprofundar um pouco mais no assunto dos números reais para que você conheça as suas propriedades, suas categorias e saiba diferenciá-las corretamente. Para isso, dividimos o assunto nos seguintes tópicos:

  • o que são números reais;
  • quais são as propriedades dos números reais;
  • quais são os diferentes conjuntos de números reais.

 

E se você está começando esse assunto do zero, não se preocupe! Vamos explicar desde o conceito dos números reais e trazer exemplos ao longo dos tópicos para que você compreenda melhor e fique fera em mais esse segmento da Matemática. Bons estudos!

 


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O que são números reais?

Os números reais, simbolizados pela letra R, são nada mais do que um grande conjunto formado por outros 4 grupos numéricos: os racionais, os irracionais, os naturais e os inteiros, identificados pelas letras Q, I, N e Z, respectivamente.

Além disso, os números naturais e os inteiros fazem parte do grupo dos racionais e, partindo dessa lógica, chegamos à representação: R=N∪Z∪Q∪I, em que ∪ significa a união das diferentes espécies de números para constituir o conjunto dos reais.

Dessa maneira, eles formam um complexo incontável utilizado para representar diferentes tipos de quantidade e valor, englobando o zero, os números positivos, os negativos, além dos decimais e fracionários, representados por meio da reta numérica, que você poderá conferir a seguir.

Reta numérica

Também chamada de “reta real”, a reta numérica é uma forma de representação gráfica em que, para cada número real, há apenas um ponto presente nessa linha, que é infinita em qualquer direção, mas tem o zero como ponto central.

Depois dessa breve apresentação, no tópico seguinte vamos falar um pouco mais sobre as propriedades dos números reais. Continue a leitura e confira!

 

Quais são as propriedades dos números reais?

Números reais

Neste tópico, vamos listar as cinco propriedades dos números reais a partir da formação dos diferentes grupos numéricos e operações matemáticas de soma ou multiplicação. Veja a seguir!

1. Comutatividade

De acordo com essa propriedade, a ordem dos números reais nas operações matemáticas não altera o seu resultado final. Assim, chegamos a operações em que a+b = a+b ou a.b = a.b.

2. Associatividade

Nesse caso, as operações envolvem mais de dois elementos e, por isso, devem ser operados dois a dois. No entanto, a forma como estão distribuídos na equação não altera o resultado final, como podemos observar nos exemplos a seguir:

  • para a soma, podemos considerar que (a+b)+ c = a+(b+c);
  • e para a multiplicação, temos (a·b)·c = a·(b·c).

3. Elemento neutro

Aqui, falamos de um número real que, dentro da operação, não gera influência sobre o resultado. No caso da soma, esse elemento corresponde ao número 0 e, na multiplicação, o elemento neutro é igual a 1, como é possível observar nos seguintes exemplos em que a+0 = a e a.1 = a.

4. Elemento inverso

Para essa propriedade, a regra é: todo número real tem um elemento inverso. E o resultado da operação matemática entre essas unidades será sempre um elemento neutro. Para que você compreenda melhor, listamos abaixo exemplos para operações de soma e multiplicação:

  • para somar um número real e seu inverso, chegaremos ao seguinte cálculo: a+(-a) = 0;
  • no caso da multiplicação, temos a seguinte operação: a.1/a = 1.

5. Distributividade

Por fim, a propriedade da distributividade envolve tanto a soma quanto a multiplicação em uma única operação. E, nesse caso, a soma dos produtos será igual ao produto da soma, seguindo o seguinte esquema: a·(b + c) = a·b + a·c.

Agora que você já está familiarizado com as propriedades dos números reais, chegou a hora de conhecer os grupos cuja união forma o grande conjunto de números reais. Vamos lá?

 

Quais são os diferentes conjuntos de números reais?

Como citamos no primeiro tópico deste post, os números reais são formados a partir da união de todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais. E, a seguir, vamos apresentar para você cada um desses grupos de forma mais detalhada.

Números naturais

Formado por todos os números positivos, esse conjunto surgiu da necessidade de contar e quantificar itens de diversas naturezas. Partindo do zero como elemento inicial, os números naturais crescem em ordem positiva e infinita, e são representados pela letra N, como podemos ver na sequência : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…}.

Números inteiros

Esse grupo inclui os números naturais — positivos —, no entanto, vai além e engloba também os seus aditivos inversos — os números negativos —, ou seja, os elementos anteriores ao zero na reta numérica.

Identificados pela letra Z, os números inteiros podem ser representados da seguinte forma: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}.

Números racionais

Representado pela letra Q, esse é o maior dos grupos de números reais, pois além de incluir os números naturais e os números inteiros, ainda conta com as frações, os decimais finitos e as dízimas periódicas.

Veja alguns exemplos de elementos que compõem este conjunto numérico: Q = {… -2, -1,5, -1, 0, 1, 1/2, 2, 2,4…}.

Números irracionais

Por fim, o grupo dos números irracionais, representado pela letra I, é formado apenas por dízimas não periódicas, ou seja, decimais infinitos cuja sequência de números após a vírgula não se repete.

Conhecendo todos esses conjuntos de números reais e suas relações no universo matemático, temos certeza de que será mais fácil compreender os demais assuntos dessa matéria e seguir os estudos com tranquilidade para acertar em cheio até as questões mais complexas!

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Raquel Brito

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