Conheça as medidas de tendência central

Para se dar bem na prova de Matemática e suas Tecnologias do Enem é preciso dominar o conteúdo de Estatística! E algumas das definições mais pedidas na prova são de média, moda e mediana, valores que podem ser extraídos de um conjunto de dados para nos ajudar a analisá-los.

Esses valores são chamados de medidas de tendência central, por indicarem como os dados se agrupam em torno de um valor central, usando vários parâmetros diferentes.

Se você quer ficar craque nesse conteúdo, neste texto vamos explicar as diferenças entre as definições de média, moda e mediana, e ensinar a calculá-las, confira!

O que são medidas de tendência central?

Chamamos de medidas de tendência central valores centrais em distribuições de probabilidade. Elas podem ser calculadas para um conjunto finito ou infinito de dados, apesar de que, no Enem, os conjuntos são sempre finitos. O nome vem do fato de que esses valores representam “a tendência de dados quantitativos de se agruparem ao redor de um valor central”. Ou seja, é uma tendência, o que não significa que todos os valores são iguais àquele, apesar de tenderem estar próximos.

Além da média, moda e mediana, muitas outras medidas são de tendência central, como a média geométrica, a média harmônica, a média ponderada, a média truncada, entre outras. A maioria dessas também são médias, então quando dizemos somente “média”, estamos nos referindo à média aritmética.

Média

A média, ou média aritmética simples, é a mais utilizada no dia a dia para pensarmos em centralidade.

Como calcular a média?

A média é obtida dividindo a soma de todos as observações pela quantidade de observações.

A fórmula pode ser escrita como:

M = (x1 + x2 + x3 + … + xn)/n

Exemplo de média

Temos um conjunto de três números, {4, 9, 17}, e queremos saber a média desses.

Logo, x1 = 4, x2 = 9 e x3 = 17, e n = 3, já que temos somente três observações.

M = (4 + 9 + 17)/3 = 30/3 = 10. Como vemos aqui, a média não precisa ser um elemento do conjunto, já que 10 não pertence a esse conjunto.

Mas o que isso significa de fato?

A média nos fornece um valor único, para caso tenhamos que substituir todo o conjunto por um único número. A média é o melhor valor nesse caso porque é o número que minimiza a soma das distâncias entre os valores do conjunto e a média.

Repare que:

(x1 – M) + (x2 – M) + (x3 – M) = (4 – 10) + (9 – 10) + (17 – 10) = -6 + (-1) + 7 = -7 + 7 = 0

Essa soma sempre será 0 com a média aritmética, porque ela foi feita para ser justamente 0.

Moda

A moda é uma outra forma de tendência central. Ela indica o dado mais frequente entre o conjunto, e a moda sempre pertence ao conjunto.

Como calcular a moda?

Para calcular a moda, o indicado é colocar todos os dados em alguma ordem, agrupando os dados iguais. Depois basta contar a ocorrência de cada um deles e ver qual é o mais frequente.

Perceba que essa definição coincide com a nossa definição comum de moda: uma roupa da moda é aquela que todo mundo usa, muito frequente. E repare também que o conjunto pode ter mais de uma moda: é chamado de bimodal quando dois dados ocorrem com a mesma frequência, ou de trimodal quando três dados ocorrem com a mesma frequência e assim por diante, assim como amodal, quando não tem moda, que é o caso do conjunto do primeiro exemplo, {4, 9, 17}.

Exemplo de moda

Suponha que nossos dados são as idades dos alunos de uma turma na escola. Perguntamos para cada aluno sua idade anotamos, no fim temos um conjunto do tipo: {15, 16, 15, 17, 15, 15, 15, 17, 16, 15, 18}.

Para calcularmos a moda, temos que organizar o conjunto. Neste caso, vamos fazer por ordem crescente: {15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18}. Agora temos que ver quantas vezes cada dado ocorre: 6 alunos têm 15 anos, 2 alunos têm 16 anos, 2 alunos têm 17 anos e um aluno tem 18 anos. Portanto, a moda é 15.

Repare ainda que, das tendências de valor central, a moda é uma das únicas que não se aplica apenas a números. Por exemplo, se perguntarmos o nome dos alunos da turma, ainda é possível medir a moda, basta ver quantos alunos têm nomes iguais.

A média e a moda não precisam ser iguais, apesar de ser possível.

Veja, no caso das idades, que a média M = [(6 x 15) + (2 x 16) + (2 x 17) + (1 x 18)]/11 = 174/11 = 15,8.

O valor é bem próximo da moda porque as idades não variam tanto assim na turma, mas caso tenha valores muito distantes da média, por exemplo, um aluno de 40 anos, esse valor jogaria a média para cima, o fazendo ficar bem distante da moda.

Mediana

A mediana é uma medida de tendência central que só se aplica a conjuntos ordenados.

Como calcular a mediana?

Ela é definida pelo valor que separa a metade maior da metade menor do conjunto. Dessa forma, não mais da metade dos elementos será maior que a mediana, e não mais que metade dos elementos será menor que a mediana.

Exemplo de mediana

Vamos voltar no exemplo visto anteriormente, as idades dos alunos de uma turma: {15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18}.

Esse conjunto já está ordenado e tem um número ímpar de elementos, o que facilita bastante o cálculo. Como são 11 elementos, o valor do meio, que separa as duas metades, é o 6º elemento, que é 15.

Repare que a definição se mantém: a metade maior é composta de 5 elementos, {16, 16, 17, 17, 18}, e a metade menor também é composta de 5 elementos {15, 15, 15, 15, 15}, e a mediana 15 separa as duas. Além disso, somente 5 elementos são maiores que a mediana, menos que a metade de 11, que é 5,5, e nenhum elemento é estritamente menor.

Mas e quando o número de elementos do conjunto é par? Nesse caso, a mediana será a média dos dois valores centrais.

Se o conjunto é {2, 5, 8, 12}, ele tem 4 elementos, e os elementos centrais são o 2º e o 3º elemento, ou seja, 5 e 8. A média M = (5 + 8)/2 = 13/2 = 6,5.

De fato, 2 elementos do conjunto são maiores que essa mediana, e 2 elementos são menores.

Exercícios de média, moda e mediana

escrevendo moda media mediana

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Raquel Brito

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